Question

圆锥曲线 已知A'B'C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O,

圆锥曲线 已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O,且向量AC乘向量BC=0,BC的长度是AC长度的2倍.,求是否存在实数m使椭圆上两点P，Q的角PCQ的垂直平分线垂直AO，使得向量PQ等于m倍的向量AB？

Answer 1

A为长轴顶点 => A=A(4,0)

向量AC*向量BC=0 => AC⊥BC

B,C通过原点，则关于原点对称，∴ BC=2AC => AC=OC

∴△AOC为等腰三角形，∠ACO的角平分线垂直平分AO

设椭圆方程 x^2/16+y^2/b^2=1

设A(4,0), C(c,c'), B(-c,-c')

则 c=(0+4)/2=2  代入方程解得b=4/√3     

∴椭圆方程为 x^2+3y^2=16

后面的太复杂了，做了很久没做出来，又删掉了，不好意思

但这样的点是存在的，见图（仅供参考）

追问

长轴长不应该是2a吗？那么a不是2吗？

追答

是，不好意思，搞错了，那上面的都没用了，所有的都错了，不好意思
正确的椭圆方程应该是 x^2+4y^2=4 (b=1)

Answer 2

kcp=-kcq
c(1,1)
B(-1,1)
向量AB(-3,-1)
设直线cp=my 1-m
直线cq=-my 1 m分别与椭圆方程联立
得yp(m2 2m-3)/(m2 3)
xp(-m2-6m 3)/(m2 3)
所以向量PQ(12m/(m1 3),4m/(m2 3)
然后证两向量平行乘一乘就好了。
靠，本来想百度下抄作业的，结果一个答案都找不到，╭(╯^╰)╮