Question

韦达定理常规练习

1、如果m、n是两个不想等的实数，且满足m²－2m＝1，n²－2n＝1，那么代数式2m²＋4n²－4n＋1999＝？
2、若m，n是关于x的方程x²＋（p－2）x＋1＝0的两实根，则代数式（m²＋mp＋1）（n²＋np＋1）的值等于？
麻烦写过程，谢谢

Answer 1

1、如果m、n是两个不想等的实数，且满足m²－2m＝1，n²－2n＝1，那么代数式2m²＋4n²－4n＋1999＝？
解：设m,n是方程x^2-2x-1=0的两不等实根，
所以m+n=2,mn=-1, 所以m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=4+2=6
2m²＋4n²－4n＋1999
=(2m²＋2n²)+(2n²-4n)+1999
=2(m²＋n²)+2(n²-2n)+1999
=2*6+2*1+1999

=2013
2、若m，n是关于x的方程x²＋（p－2）x＋1＝0的两实根，则代数式（m²＋mp＋1）（n²＋np＋1）的值等于？
将m,n分别代入方程，得：
m^2+mp-2m+1=0, 所以m^2+mp+1=2m
n^2+np-2n+1=0,所以n^2+np+1=2n
所以（m²＋mp＋1）（n²＋np＋1）=2m*2n=4mn=4*1=4