Question

三次求解1/3× k的三次方-{（K+1)/2}×K的平方+K的平方-1/3>0 详解 如何求K的三次的不等式？

Answer 1

一般的一元三次方程不能直接求解，当然数学手册上也有公式解法，对于一些特殊的三次方程可用因式分解法得到一个实根（剩下的一元二次式也就可直接求解）。本题就可通过先求一实根来解。

原不等式用符号表示为：(k^3)/3-((k+1)*k^2)/2+k^2-1/3>0；
两边同乘以-6得：k^3-3k^2+2<0；
因式分解：(k^3-k^2)-2*(k^2-1)<0　即　(k-1)*k^2-2*(k+1)(k-1)<0；
左边提取公因式(k-1)，得：(k-1)*(k^2-2k-2)<0，
　(k-1)*[(k-1)^2-3]<0；
第二个括号内再分解：(k-1)(k-1-√3)(k-1+√3)<0
上述不等式左端有三项，若一项为负两项为正，则不等式成立，若三项均为负也成立；
①先讨论三项均负的情况，即(k-1)<0，(k-1-√3)<0，(k-1+√3)<0，
由此得出 k<1，k<1+√3，k<1-√3，综合得：k<1-√3；
②③再看三项中一负二正的情况，
将三个根按从小到大顺序排列：1-√3，1，1+√3，
当　1-√3<1<k<1+√3　时，不等式分解因式中一负二正，不等式成立，
即　1<k<1+√3
其它情况如二负一正或三项均正则不等式不能成立。
不等式的解集为：
　　k<1-√3　和1<k<1+√3