Question

如图，在RT△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A的任一直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E

（1）求证DE=BD+CE
（2）若将直线AN绕A点沿顺时针方向旋转，是它经过△ABC的内部，再做BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，那么DE、DB、CE之间还存在等量关系么？若存在，请证明你的结论。
那个是第一小题的图。这个是第二小题的图。。还有第一小题求证的是DE=BD+CE。。。不是减号是加号TAT

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Answer 1

（1）

因为 ∠BAD+∠CAE=90度

所以 ∠BAD=∠ACE,  ∠ABD=∠CAE

因为 AB=AC

所以 △BAD 全等△ACE

所以 AD=CE , BD=AE

所以 DE=AD+AE=CE+BD

（2）

若AN经过△ABC的内部，那么 DE=|BD-CE|

如图，

依然有△BAD 全等△ACE

AD=CE , BD=AE，

由于AN经过三角形内部，因此D或E在三角形内，DE<AE 或 DE<AD

于是 DE=AE-AD (D在三角形内）， 或 DE=AD-AE  （E在三角形内）

即 DE=|AE-AD|=|BD-CE|

Answer 2

分析：
（1）证明△ABD≌△CAE，即可证得BD=AE，AD=CE，而AE=AD+DE=CE+DE，即可证得；
（2）图形变换了，但是（1）中的全等关系并没有改变，可得DE、DB、CE之间的等量关系．解答：
（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
又∵AB=AC，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE=CE+DE，
∴BD=DE+CE，
即DE=BD-CE．
（2）DE=BD+CE．
证明与（1）相同．

ok？

Answer 3

(1)∵BD⊥AN，CE⊥AN，∠BAC=90°
∴∠D=∠E=∠BAC=90°
∵∠DAB+∠BAC+∠NAC=∠NAC+∠AEC+∠EAC=180
∴∠DAB+∠NAC=∠NAC+∠EAC=90
∴∠DAB=∠EAC
在三角形ADB和三角形AEC中，
∵∠D=∠E
AB=AC
∠DAB=∠EAC
∴三角形ADB全等于三角形AEC
∴DB=AE，DA=CA
∴DA+AE=BD+CE
即DE=BD+CE
(2)DE=BD-CE

Answer 4

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