设α1 α2 α3是一个规范正交组，求‖4α1-7α2+4α3‖
这其实也是个定理:内积空间中的向量在空间内某规范正交基下各座标的平方和等于其2-范数的平方
简单讲:求长度用勾股定理
定理：内积空间中的向量在空间内某规范正交基下各座标的平方和等于其2-范数的平方。
α1,α2,α3.α4 的一个极大无关组即是V的一组基
(α1,α2,α3.α4)=
1 -1 2 2
3 1 0 4
0 1 0 1
2 0 -2 0
经初等行变换化为
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0
所以 α1,α2,α3是V的一组基
且 α4 = α1+α2+α3
所以 α= α1+2α+3α3+4α4 = 5α1+6α2+7α3
即 α 在基α1,α2,α3 下的坐标为 (5,6,7)
扩展资料
对于一般的内积空间V，可以使用正交基数来定义V上的归一化正交坐标。在这些坐标下，内积变为向量的点积。因此，正交基的存在减少了有限维内部空间的研究，以研究点阵积分下的Rn。每个有限维的内积空间都有一个正交基，这可以从任意的基础上使用格拉姆 - 施密特方法获得。
在功能分析中，正交基的概念可以推广到任意（无限维）内积空间（或希尔伯特前空间）。给定希尔伯特前空间H，H的正交基是正交的向量集合，其特征在于H中的每个向量可以被写为基于向量的无限线性组合。
在这种情况下，正交基础有时被称为H的希尔伯特基。注意，在这个意义上，正交基通常不是哈默尔基础，因为需要无限线性组合。具体来说，基础的线性跨度必须在H中是致密的，但它可能不是整个空间。
定理：内积空间中的向量在空间内某规范正交基下各座标的平方和等于其2-范数的平方。
α1,α2,α3.α4 的一个极大无关组即是V的一组基
(α1,α2,α3.α4)=
1 -1 2 2
3 1 0 4
0 1 0 1
2 0 -2 0
经初等行变换化为
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0
所以 α1,α2,α3是V的一组基
且 α4 = α1+α2+α3
所以 α= α1+2α+3α3+4α4 = 5α1+6α2+7α3
即 α 在基α1,α2,α3 下的坐标为 (5,6,7)
扩展资料：
设M是内积空间X的一个不含零子集，若M中向量两两正交，则称M为X中的正交系，又若M中向量的范数都为1，则称M为X中的规范正交系。
元素的正交性在内积空间和Hilbert空间中扮演着十分重要的角色。在n维欧氏空间，选定n个相互正交的向量，则形成n维空间中的一组正交基，也就是说在空间中建立了一组坐标系，空间中的任何一个元素都可以由这组坐标的线性组合表示出来。
参考资料来源：百度百科-规范正交系
