Question

奥数题高手来帮忙！！！！急急急！！！！

1.正方形ABCD是一条环形公路，已知汽车在AB上的时速为50千米，在BC上的时速为60千米，在CD上的时速为80千米，在AD上的时速为40千米，从CD上的一点同时反向发出一辆汽车，他们将在AB的中点E处相遇。如果从PC的中点M处同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上的N点相遇，试求AN与BN之比
注：N在正方形AB边上，此边中间是E，E的左边是N，DC边上是P、M，看起来像把边平均分成三分。
2、如下图在三角形ABC中，AE=2EB，D为BC的中点，三角形ACD的面积是6平方厘米，求阴影部分的面积。

Answer 1

用画图的方法：将各段所花时间画一条线（路程及分母可不考虑），2.5是等分得来的，下面的6.25是再等分得来的，AN=12-6.25=5.75，BN=12+6.25=18.25，所以比是23比73

2、过D点作CE的平行线如DG较易求，

首先它分已知三角形CEB（易求为4）为1和3，得到右边小三角形DGB为1，进一步得ADG=6-1=5

其次它将下部分AEF与ADB的面积比也因为平行易求为 4比5的平方，所以AFE=5x(4/5)平方=3.2

加上上部的4就等于7.2

追问

牛啊，你这么一画我更弄不懂啦，能用小学生的水平回答么？？？麻烦啦！！！

追答

我画图就是用小学生的方法呀。每边路程÷每边速度=每边所花时间
相遇，如果把每边时间用线段表示出来，只要找中点就可让两边时间相等，下面定线段的长度：
四边速度分别是40、50、60、80，公分母是120
每边路程÷40=30（每边路程÷120）
每边路程÷50=24（每边路程÷120）
每边路程÷60=20（每边路程÷120）
每边路程÷80=15（每边路程÷120）
以上数据都是（每边路程÷120）的倍数，所以可直接取30、24、20、15作线段，
上面的线段直接找中点就可以了，算式是：
[30（每边路程÷120）+15（每边路程÷120）+20（每边路程÷120）]÷2=32.5（每边路程÷120)
32.5-30=2.5 这个明白了吧。实际上是2.5（每边路程÷120）
下面那个图，找PC的中点，(15-2.5)÷2=6.25，也就是说起点变了，但时间仍要相等，只能从线段左边截去6.25，再在右边加上6.25，才能保证相遇，移动后的线段AN与BN的比本来是路程的比，但由于速度相同，所以也是时间的比，线段的长度代表的是时间，所以可由移动后的线段长度计算得来

追问

40、50、60、80，公分母是120???80你能找个120出来，LZ我服你了

追答

抱歉，少写一个零。你从“每边路程÷50=24（每边路程÷120）”等式子也能看出来，所有涉及120的都改为1200，学习重在思路，如自己能肯定别人错了及时纠正，存在疑问可以探讨

Answer 2

1、关键是先要求出P点所在位置，设正方形边长为a千米，PC=b千米，依据题意有：
(a-b)/80 + a/40 + a/2/50 = b/80 + a/60 + a/2/50
解得b=(5/6)a
则MC=b/2=(5/12)a，MD=(7/12)a
然后再列式：
(7/12)a/80 + a/40 + AN/50 = (5/12)a/80 + a/60 + BN/50
AN+BN=a
解得：AN=(23/96)a，即AN：BN=23：73

2、D是BC中点，E是AB三等分点，关键在于求AF：FD
三角形ABC面积为M=2x6=12，连接BF
S(CDF)=S(BDF)
S(AEF)=2S(BEF)
列出以下方程组：
S(ABD)=M/2=6=3S(BEF)+S(BDF)
S(BCE)=M/3=4=S(BEF)+2S(BDF)
解得S(BEF)=1.6，S(BDF)=1.2
所以AF:FD=S(AFB):S(DFB)=3S(BEF):S(BDF)=4.8:1.2=4:1
因此，S(ACF)=4/5 * S(ACD)=0.8*6=4.8
阴影面积=12-4.8=7.2

追问

能把过程分列出来吗，我眼都花啦！！！！

追答

除了解方程的过程没写之外，其它计算过程已经写得很清楚啦。这两道题其实不难，只是计算过程稍微繁琐一点而已。

Answer 3

1. 从CD上的一点P同时反向发出一辆汽车，他们将在AB的中点E处相遇；②从PC的中点M处同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上的N点相遇，试求AN与BN之比 。
可以这样理解：由于汽车的速度相同，相同时间内走过的路程也相同。所以
AB=50，BC=60，CD=80，AD=40。
由①知，折线E-A-D-P=折线E-B-C-P ，因为EA=EB，所以40+DP=60+PC，而DP+PC=80。所以DP=50，PC=30
由②知：折线N-A-D-M=折线N-B-C-M，因为MP=MC，所以NA+40+65=BN+60+15
而NA+BN=50。所以NA=10，BN=40。
所以AN比BN=1/4
把实际问题抽象成几何问题，借助方程会简便的多。
2.解法一：
因为D为BC的中点，所以S△ACD=S△ABD=6
做DG∥AB交CE于G，所以DG=1/2BE
又AE=2EB，所以DG=1/4AE
△AEF∽△DGF，所以DF：AF=1/4，即DF=1/5AD
所以S△FCD=1/5·S△ACD=6/5
所以阴影面积=7.2
解法二：
连结OC
设S△OEC=x 则S△OAE=2x
则S△ODC=6-3x
∵BD=DC
∴S△BOD=S△DOC=6-3x
∴S△BEC=2×(6-3x)+x=12-5x
S△ABC=6×2=12
S△BEC=12/3=4
12-5x=4
x=8/5
S阴=6+（6-3x)=12-3x=12-24/5=7.2

Answer 4

1.
设边长为a，DP为x，则x/80+a/40=a/60+（a-x）/80，所以x=a/6，所以CM长5a/12；设AN为y，则7a/12/80+a/40+y/50=5a/12/80+a/60+（a-y）/50，所以y=23a/96，所以AN/BN=23/73

Answer 5

第一题题意不清，无法解答
第二题解答如下：
过D做DG//CE
在⊿CEB中，
∵DG∥CE
∴BG/EG=DB/CD=1
∵AE=2EB
∴EG/AE=1/4
在⊿ADG中
EF∥DG
∴AF/FD=AE/EG=4
∴S⊿ACF=4S⊿CDF
∵S⊿ACD=6
S⊿ACF=24/5
∵S⊿ABC=2S⊿ACD=12
∴S阴影=12-24/5=36/5