Question

函数y=-3x^2+6x+5的值域是

Answer 1

方法一：
由题意知：
函数定义域为R（有理数）
因为二次项系数小于0即：
-3 < 0
因此函数有最大值：
(4ac-b^2)/4a = 8
所以值域为：（-∞，8]
或写为x <= 8

方法二（配方法）：

y = -3x^2+6x+5
= -3(x-1)^2+8
所以当x=1时，y有最大值为8

所以值域为：（-∞，8]
或写为x <= 8
方法三：
二次函数的导数为：
y' = -6x +6
解方程：y' = 0
即：-6x +6 = 0
x= 1
又因为二次项系数小于零
所以函数有最大值y= (-3)*1^2+6*1+5=8
所以值域为：（-∞，8]
或写为x <= 8
方法四：
由题意知：
函数定义域为R（有理数）
设x1<x2
f(x2)-f(x1)=3[ (x1^2-x2^2) + 2(x2-x1) ]
=3[(x1-x2)(x1+x2)+2(x2-x1)]
=3(x1-x2) [ x1+x2-2]
因为3(x1-x2) < 0
当x1>1 时f(x2)-f(x1)<0
即x>1函数单调递减
同理当x<1时函数单调递增
所以函数最大值为：y= (-3)*1^2+6*1+5=8（因为是先增后减，所以有最大值）
所以值域为：（-∞，8]
或写为x <= 8

Answer 2

配方。
y=-3(x-1)^2+8
所以当x=1时，y取得最大值8
而当x趋于正无穷或负无穷时，y均趋于负无穷。
故值域为(-无穷,8]
望采纳~