Question

第23题，数学，写纸上~要过程谢谢，

Answer 1

解：(1)由题意知，抛物线对称轴为x=3/2，∴B(3/2，-3)，
可设抛物线方程为y=c-a(x-3/2)²，则c=9/4，9/4-a(-3/2)²=0，a=1，
∴抛物线方程为y=9/4-(x-3/2)²=3x-x²，
(2) 设C(b，0)，则D(0，2b)，直线CD为y=-2(x-b)，
3x-x²=-2(x-b)，即x²-5x+2b=0，x=5/2+√(25-8b)/2或5/2-√(25-8b)/2，
∵25-8b≥0，∴0<b≤25/8，
y=2b-5-√(25-8b)或2b-5+√(25-8b)，
A(5/2+√(25-8b)/2，2b-5-√(25-8b))或A(5/2-√(25-8b)/2，2b-5+√(25-8b))，
若A(5/2+√(25-8b)/2，2b-5-√(25-8b))，直线OA为y=x(2b-5-√(25-8b))/(5/2+√(25-8b)/2)，
当x=2时，y=2(2b-5-√(25-8b))/(5/2+√(25-8b)/2)=8b/(5+√(25-8b))-4，
S△OAB=(8b/(5+√(25-8b))-4)(5/2+√(25-8b)/2)/2=2b-5-√(25-8b)，
当b=25/8时，S△OAB取最大值5/4，

若A(5/2-√(25-8b)/2，2b-5+√(25-8b))，直线AB为y+3=(x-3/2)(2b-5+√(25-8b)+3)/(5/2-√(25-8b)/2-3/2)，即y=(2x-3)(2b-2+√(25-8b))/(2-√(25-8b))-3，
当y=0时，(2x-3)(2b-2+√(25-8b))-3(2-√(25-8b))=0，x=3b/(2b-2+√(25-8b))，
S△OAB=(3b/(2b-2+√(25-8b)))(2b-5+√(25-8b)+3)/2
=3b/2，
当b=25/8时，S△OAB取最大值75/16，

综上所述，C(25/8，0)，
(3) CD=b√5，
∵直线CD为y=-2(x-b)，∴ 直线CP为y=(x-b)/2， 直线DP为y=x/2+2b，
3x-x²=(x-b)/2，2x²-5x-b=0，x=5/4-√(25+8b)/4(不合题意，舍去)或5/4+√(25+8b)/4，
P(5/4+√(25+8b)/4，5/8+√(25+8b)/8-b/2)，
CP=√((5/4+√(25+8b)/4-b)²+(5/8+√(25+8b)/8-b/2)²)=(5/8+√(25+8b)/8-b/2)√5，
∴2b√5=(5/8+√(25+8b)/8-b/2)√5，或b√5=2(5/8+√(25+8b)/8-b/2)√5，

解得b=0(不合题意，舍去)或13/25(不合题意，舍去)，或b=0(不合题意，舍去)或11/8，
∴P(11/4，11/16)，
3x-x²=x/2+2b，2x²-5x+4b=0，x=5/4-√(25-32b)/4(不合题意，舍去)或5/4+√(25-32b)/4，
P(5/4+√(25-32b)/4，5/8+√(25-32b)/8+2b)，
DP=√((5/4+√(25-32b)/4)²+(5/8+√(25-32b)/8)²)=(5/8+√(25-32b)/8)√5，
∴2b√5=(5/8+√(25-32b)/8)√5，或b√5=2(5/8+√(25-32b)/8)√5，

解得b=0(不合题意，舍去)或1/2(不合题意，舍去)，或b=0(不合题意，舍去)或1/2 (不合题意，舍去)，
∴P(11/4，11/16)。