Question

(初高中衔接数学题，请高手帮忙)如图，在△ABC中，AD,CF,BE分别为BC,AB,AC上的高，D,E,F分别为垂足，

如图，在△ABC中，AD,CF,BE分别为BC,AB,AC上的高，D,E,F分别为垂足，H为△ABC的垂心，求证：H为△DEF的内心。

关于内心垂心的定理不太明白，请高手解答时讲明白些，多谢多谢

Answer 1

∵AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB
可得∠BFH+∠BDH=90°+90°=180°
∴B、D、H、F四点共圆
同理，A、E、H、F和C、E、H、D均四点共圆
∴∠ADF=∠ABE,∠ADE=∠ACF
由△ABE∽△ACF得
∠ABE=∠ACF
∴∠ADF=∠ADE
∴AD平分∠EDF
同理，BE平分∠DEF
∴H为三角形DEF的内心

重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。

Answer 2

H为△ABC的垂心 ∴∠AFC＝∠BFC＝∠AEB＝∠CEB＝∠BDA＝∠CDA＝90
∴AEHF共圆 CEHD共圆 BDHF共圆
∴∠CFE＝∠DAE＝90－∠C＝∠EBC＝∠CFD ∴CF是∠EFD的角平分线
同理BE、AD是角DEF和EDF的平分线 ∴它们的交点H是△DEF的内心

Answer 3

内心是角平分线的焦点。垂心是三角形高的交点