Question

已知函数f(x)的定义域为D,如果对于任意x属于D,存在常数M(M>0)都有|f(x)|<=M成立

则称函数f(x)是D上的有界函数，其中M叫做函数f(x)是D上的上界，g(x)=1+m乘以2的负x方+4的负x方
（1）当m=1,D=(-无穷，1）时，判断函数g(x)在D上是不是有界函数？
（2）若函数g(x)在[1,+无穷）上是以3为上界的有界函数，求实数m的取值范围。

在线急求回答！！谢谢大家！！！

Answer 1

解:1.g(x)=1+m*2^(-x)+4^(-x)=[2^(-x)]^2+2^(-x)+1
令t=2^(-x),则g(x)=t^2+t+1=(t+1/2)^2+3/4
因为D=(-无穷,1),所以t属于(1/2,+无穷),所以g(x)属于(7/4,+无穷),即|g(x)|>7/4,不存在哪一个值M,使得|g(x)|<=M
所以g(x)在D上不是有界函数
2.g(x)=1+m*2^(-x)+4^(-x)=[2^(-x)]^2+m*2^(-x)+1
令t=2^(-x),则g(x)=t^2+m*t+1=(t+m/2)^2+1-m^2/4,且t属于(0,1/2]
因为g(x)的对称轴为-m/2,所以对对称轴进行讨论:
(a).当-m/2<=0即m>=0时,g(x)=t^2+m*t+1>0恒成立,g(x)max=g(1/2)=5/4+m/2<3,得:m属于[0,7/2)
(b).当-m/2属于(0,1/2]即m属于[-1.0)时,g(0)=1<3
g(1/2)=5/4+m/2属于(-3,3)
g(-m/2)=1-m^2/4属于(-3,3),得:m属于[-1,0)
(c).当-m/2属于(1/2,+无穷)即m属于(-无穷,-1)时,g(0)=1<3
g(1/2)=5/4+m/2属于(-3,3),得:m属于 (-17/2,-1)
综上所述:m属于(-17/2,7/2)
注:*表示乘,^表示几次方,有些符号我实在不会打,如果看不懂的话欢迎追问,有错误的话及时纠正。

Answer 2

（1）当m=1,D=(-无穷，1）时，判断函数g(x)在D上不是有界函数