Question

已知X,Y都是正数,且满足X+2Y+XY=30,求XY的最大值,并求出此时X,Y的值

请把过程写清楚

Answer 1

因为X+2Y+XY=30
所以X+2Y=30-XY>=2根号下2XY
令根号下2XY=T 因为X,Y 是正数
解得T的最大值是3根号2
所以XY的最大值是18
根据不等式的性质,当且仅当X=2Y时 即X=6 Y=3

Answer 2

原等式即：(x+2)(y+1)=32=2*16=4*8
故可分以下三种情况讨论：
1） x+2=16,y+1=2,此时xy=14*1=14
2) x+2=4,y+1=8,此时xy=2*7=14
3) x+2=8,y+1=4,此时xy=6*3=18

综上知：xy的最大值为18，此时x=6,y=3

Answer 3

换元：
t=xy
y=t/x
x+2t/x+t=30
x^2+2t+tx=30x
^2表示平方。
(2+x)t=30x-x^2
t=[(-x^2)+30x]/(2+x)
设s=2+x,则s>2
x=s-2
t=[-(s-2)^2+30(s-2)]/s
=[-s^2-4+4s+30s-60]/s
=[-s^2+34s-64]/s
=-s+34-64/s
=34-（s+64/s)
<=34-2√(s*64/s)
=34-2*8
=34-16
=18
s=64/s
s=8,因为s>2,所以-8舍掉

此时x=s-2=6
t=18
y=t/x=3

Answer 4

2楼的答案有点问题吧，没说x,y是整数阿