Question

怎样学好一次函数？?

Answer 1

学好一次函数需掌握一定的学习方法，例如理解一次函数和其它知识的联系、掌握一次函数的解析式的特征、应用一次函数解决实际问题、数形结合等，下面是详解。

（一）、理解一次函数和其它知识的联系 

一次函数和代数式以及方程有着密不可分的联系。如一次函数和正比例函数仍然是函数，同时，等号的两边又都是代数式。需要注意的是，与一般代数式有很大区别。首先，一次函数和正比例函数都只能存在两个变量，而代数式可以是多个变量；其次，一次函数中的变量指数只能是1，而代数式中变量指数还可以是1以外的数。另外，一次函数解析式也可以理解为二元一次方程。

（二）、掌握一次函数的解析式的特征　 

一次函数解析式的结构特征：kx＋b是关于x的一次二项式，其中常数b可以是任意实数，一次项系数k必须是非零数，k≠0，因为当k = 0时，y = b(b是常数)，由于没有一次项，这样的函数不是一次函数；而当b = 0，k≠0，y = kx既是正比例函数，也是一次函数。　

（三）、应用一次函数解决实际问题　　

1、分清哪些是已知量，哪些是未知量，尤其要弄清哪两种量是相关联的量，且其中一种量因另一种量的变化而变化；

2、找出具有相关联的两种量的等量关系之后，明确哪种量是另一种量的函数；

3、在实际问题中，一般存在着三种量，如距离、时间、速度等等，在这三种量中，当且仅当其中一种量时间(或速度)不变时，距离与速度(或时间)才成正比例，也就是说，距离(s)是时间(t)或速度( )的正比例函数；

4、求一次函数与正比例函数的关系式，一般采取待定系数法。

（四）数形结合

方程，不等式，不等式组，方程组我们都可以用一次函数的观点来理解。一元一次不等式实际上就看两条直线上下方的关系，求出端点后可以很容易把握解集，至于一元一次方程可以把左右两边看为两条直线来认识，直线交点的横坐标就是方程的解，至于二元一次方程组就是对应2条直线，方程组的解就是直线的交点，结合图形可以认识两直线的位置关系也可以把握交点个数。

如果一个交点时候两条直线的k不同，如果无穷个交点就是k,b都一样，如果平行无交点就是k相同，b不一样。至于函数平移的问题可以化归为对应点平移。k反正不变然后用待定系数法得到平移后的方程。这就是化一般为特殊的解题方法。

扩展资料

学习方法

一、知识要点

1、要理解函数的意义。

2、联系实际对函数图像的理解。

3、随图象理解数字的变化而变化。

二、误区提醒

1、对一次函数概念理解有误，漏掉一次项系数不为0这一限制条件；

2、对一次函数图像和性质存在思维误区；

3、忽略一次函数自变量取值范围；（有时x∈Z，其图象表现为非连续性的点的集合）

4.对于一次函数中，把自变量认为不能等于零。

三、和方程的异同

1、一次函数和一元一次方程有相似的表达形式。

2、一次函数表示的是一对（x，y）之间的关系，它有无数对解；一元一次方程表示的是未知数x的值，最多只有1个值。

3、一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。

四、和不等式关系

从函数的角度看，解不等式的方法就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围的一个过程；

从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。

对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（-b/k，0）。

当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x>-b/k，不等式kx+b<0的解为：x<-b/k；

当k<0的解为：不等式kx+b>0的解为：x<-b/k，不等式kx+b<0的解为：x>-b/k。

Answer 2

一次函数只是你学函数的开始，所以不必担心学不好。
学一次函数主要要掌握以下几点：
1.
一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。

2.
【解释】函数的基本概念：在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
　　定义了函数的概念，接下来我们来介绍函数的一种特殊情况——一次函数。
　　表达式为y=kx+b（k≠0，k、b均为常数）的函数，叫做y是x的一次函数。当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。当常数项为零时的一次函数，可表示为y=kx（k≠0），这时的常数k也叫比例系数。（也叫正比例函数）
　　y关于自变量x的一次函数有如下关系：
　　1.y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意实数）
　　当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。
　　x为自变量，y为函数值，k为常数，y是x的一次函数。
　　特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常量，但k≠0）正比例函数图像经过原点。
　　定义域：自变量x的取值范围。自变量的取值一要使函数有意义；二要与实际相符合。
　　常用的表示方法：解析法、图像法、列表法。

3.函数性质　　1．当k>0时，y的变化值随x的变化值增大而增大，反之，y的变化值随x的变化值减小而减小，当k<0时，y的变化值随x的变化值增大而减小，反之，y的变化值随x的变化值减小而增大。
　　在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大 km，反之，当x减少m时，函数值y则减少 km。
　　2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。
　　3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
　　4．在两个一次函数表达式中：
　　当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
　　当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
　　当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
　　当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

4.
图像性质　　1．作法：通过如下3个步骤：
　　（1）列表；取满足一次函数表达式的两个点的坐标。
　　（2）描点；一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。
　　一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。
　　正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。
　　（3）连线。一次函数的图象是一条直线，因此，作一次函数的图象只需知道两个点，并作出直线即可。（通常取函数图象与x轴、y轴的两交点（0，b）和（-b/k，0））。
　　2．性质：
　　（1）在一次函数图像上的任取一点P（x，y），则都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
　　（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总交于（-b/k，0）。正比例函数的图像都经过原点。
　　3．k，b决定函数图像的位置：
　　y=kx时，y与x成正比例：
　　当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；
　　当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
　　y=kx+b时：
　　当 k>0，b>0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；
　　当 k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限；
　　当 k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限；
　　当 k<0，b<0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
　　当b>0时，直线必通过第一、二象限；
　　当b<0时，直线必通过第三、四象限。
　　特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。
　　这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。
　　4、特殊位置关系：
　　当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；
　　当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）。
　　5、一次函数的解析式：
　　①点斜式：y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率，(x1，y1)为该直线所过的一个点）；
　　②两点式：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点），
　　③截距式：x/a+y/b=1 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）。
　　解析式表达的局限性：
　　①所需条件较多（2个点，因为使用待定系数法需要列一个二元一次方程组）；
　　②、③不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线；注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准，因为x=0与y轴重合）；
　　④不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。

5.
一、一次函数与一元一次不等式的关系
　　从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
　　从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。
二、用画函数图象的方法解不等式
　　对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（-b/k，0）。
　　当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x>- bk，不等式kx+b<0的解为：x<- bk；
　　当k0的解为：x<- bk，不等式kx+b- bk。

6.一次函数的应用　　一、分段函数问题
　　分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
　　合实际。
　　二、函数的多变量问题
　　解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
　　求可以反映实际问题的函数
　　三、概括整合
　　（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
　　（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

7.常用公式　　1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
　　2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/2
　　3.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/2
　　4.求任意线段的长：√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 ]
　　5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
　　两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
　　6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
　　7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)
　　x y
　　+， +（正，正）在第一象限
　　- ，+ （负，正）在第二象限
　　- ，- （负，负）在第三象限
　　+ ，- （正，负）在第四象限
　　8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b2
　　9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-1
　　10.
　　y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变n）
　　y=kx+b+n就是向上平移n个单位
　　y=kx+b-n就是向下平移n个单位
　　口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）
　　11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)

生活中的应用
　　1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
　　3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）
数学问题
　　一、确定字母系数的取值范围
　　例1 已知正比例函数 ，则当k——0时，y随x的增大而减小。
　　解：根据正比例函数的定义和性质，得 k<0。
　　二、比较x值或y值的大小
　　例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）
　　A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.无法确定
　　解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。
　　故选A。
　　三、判断函数图象的位置
　　例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
　　A. 第一象限 B. 第二象限
　　C. 第三象限 D. 第四象限
　　解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0，从而b<0。
　　故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A

Answer 3

看完记得采纳 谢谢一次函数是初中数学的重要内容，它是“数”与“形”的有机结合体，也是中考试题的热点之一，如何来学好“一次函数”这一内容呢？意义你应注意以下三个方面：（1）一次函数的定义：若两个变量 与 之间的关系式可以成 （其中 ， 为常数，且 ≠0）的形式，则称 是 的一次函数．理解一次函数定义应注意的三点：①比例系数 ≠0；②自变量 的次数是1；③常数项 可以是任意实数．（2）正比例函数的定义：在一次函数 （其中 ， 为常数，且 ≠0）中，若 =0时，一次函数 （ ≠0）就叫做正比例函数，即正比例函数是常数项 =0的一次函数，理解正比例函数定义应注意的三点：①比例系数 ≠0；②自变量 的次数是1；③常数项 =0．（3）一次函数与正比例函数的联系：一次函数 （ ≠0） 如A、B两地相距300千米，一辆速度为每小时60千米汽车从A地出发开往B地，则汽车距离B地的路程S（千米）与时间t（小时）的函数关系式为 ．由于它符合一次函数 = 的结构形式，所以S是t的一次函数；正方形的周长 （cm）与边长 （cm）之间的函数关系式是 ，由于它符合正比例函数 = 的结构形式，所以 是 的正比例函数．一般情况下，一次函数与正比例函数自变量 的取值范围都是全体实数，性质踏上一次函数“性质谷”，应从一次函数与正比例函数的异同点来选择行走路线：（1）相同点：当 时，图象都经过第一、三象限，且 随 的增大而增大；当 时，图象都经过第二、四象限，且 随 的增大而减小（2）不同点：①一次函数 （ ≠0）的图象经过（0， ）、（ ，0）的一条直线，正比例函数 （ ≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线，即一次函数图象一般不经过原点；②一个一次函数 （ ≠0）图象一般经过三个象限；而一个正比例函数图象只经过两个象限（第一、三象限或第二、四象限）．思想来到一次函数“思想园”，应理解以下数学思想方法：（1）数形结合思想：在本节中，数形结合思想具体表现为一次函数图象位置与解析式各系数符号之间的关系．①一次项系数 的符号，当 时， 随 的增大而增大，从左向右看，直线呈上升趋势；当 时， 随 的增大而减小，从左向右看，直线呈下降趋势．②常数项 的符号，当 时，直线与 轴的正半轴相交；当 时，直线与 轴的负半轴相交；当 时，直线经过原点（一次函数是正比例函数）．（2）待定系数法：就是先设出式子中的未知数，再根据条件求出未知系数，从而写出式子的方法，叫做待定系数法．它包括以下四个步骤：①设——按照所求的函数类型，设出解析式；②列——把题目中的已知点的坐标代入解析式，列出方程（组）；③解——解方程（组），求出待定系数；④代——把求出的系数的值代入解析式中，求出解析式．

Answer 4

学好一次函数，是学好其他函数的基础。
1、掌握概念
一般地，函数y=kx＋b（k≠0， k，b都是常数）叫做一次函数. 它的定义域是R. 由于它的图象是一条直线，所以又叫线性函数. 这时也说x与y成线性关系.
特别地，当b=0时，一次函数y=kx又叫正比例函数. 这时也说x与y成正比例关系，其中k叫比例系数. 正比例函数的图象是一条过原点的直线.
2、理解并牢记图象和性质
掌握系数的变化所引起的图象位置的变化。注意用图象记忆性质，用数形结合法解题。
3、掌握“三个一”的关系
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系。（一叶知秋，由此可推广到“三个二”的关系，甚至一般函数与方程、不等式的关系）
4、会解一次型函数问题

Answer 5

如何学好一次函数 很多孩子初一数学学得不错， 可是一到初二的一次函数学习后数 学就一蹶不振。原因何在呢？ 有如下几个原因：教材要求我们的认识从代数上升到函数，要我 们以运动的观点看待问题。很多孩子不适应这个转型，导致了数学成 绩的直线下降。这对初中生是个考验。 这一章有如下难点：一对函数概念的理解，二是把握一次函数， 一对函数概念的理解，二是把握一次函数， 一对函数概念的理解 三是数形结合，四是一次函数的应用题。 三是数形结合，四是一次函数的应用题。主要板块中存在对 y=kx+b 的理解，就是 k,b 的意义是什么。b 还好说就是截距，但 k 是最难办 的地方。人教版的定义是比例系数，湘教版的定义是 x 随着 y 的变化 均匀变化。对 k 的理解是很关键的 对 理解是很关键的。因为孩子没有学斜率这个概念， 没学三角函数也很难讲清斜率这个概念。 这就要我们仔细琢磨教材中 均匀变化了，实际上要孩子体会到 x 增加 1，y 的变化值为 k 就好办 ， 了。我们就不难理解 k 大于 0 的时候单调递增，k 小于 0 的时候单调 的时候单调递增， 递减。 递减。 我们先说下函数定义。一个 x 确定后只有唯一的 y 与之对应。就 是说可以一对一如 y=2x,也可以多对 1 如 y=x 的平方,但不能一对多如 y 的平方=x,有些时候还以图像的形式考， 我们就要看 x=a 与图像的交 点唯一与否，唯一就是函数，不唯一就不是。在这里我说下几个容易 出现的误区。我们知道一次函数是直线，但反之未必成立如 y=2，这 时候的 k=0 不是一次函数，直线还不一定是函数如 x=2，出现了多对 1.把握一次函数的时候有两类要把握好，y=kx（k不为 0 的时候）我
们只要把握原点和（1，k)就可以了。k 大于 0 过一三象限，k 小于 0 过二四象限。 y=kx+b 要把握两个特殊的点就是与坐标轴交点。 当 （0， b)(-b/k,0)通过 k 与 b 的正负结合图形可以很清楚判断过哪 3 个象限. 还有会利用两点式求出解析式再用解析式研究图像。 接下来说下数形结合。方程，不等式，不等式组，方程组我们都 可以用一次函数的观点来理解。 一元一次不等式实际上就看两条直线 上下方的关系，求出端点后可以很容易把握解集，至于一元一次方程 可以把左右两边看为两条直线来认识， 直线交点的横坐标就是方程的 解，至于二元一次方程组就是对应 2 条直线，方程组的解就是直线的 交点，结合图形可以认识两直线的位置关系也可以把握交点个数。如 果一个交点时候两条直线的 k 不同， 如果无穷个交点就是 k,b 都一样， 如果平行无交点就是 k 相同，b 不一样。至于函数平移的问题可以化 归为对应点平移。k 反正不变然后用待定系数法得到平移后的方程。 这就是化一般为特殊的解题方法。 最后说下一次函数的应用题。 函数有三要素， 定义域值域解析式。 我们考虑函数问题的时候首先就要考虑定义域， 很多应用题是分段函 数，那么我们就要求出各个线段和射线的解析式并指出 x 的取值范 围，很多时候就要注意考虑结合一元一次不等式组。一般要使得问题 有意义如油箱余下油的问题要注意时间，和余下的油非负，如三角形 问题注意边长非负还有就是两短边和大于长边。 还有使用原料问题原 料不能比总数多等。在考虑问题的时候还要注意如何写每段的解析 式。有的题是给出图写解析式，有的是解析式与图结合。看图特别要
注意起点，折点。一般我们可以从代数角度认识求解析式比如的士付 费问题，也可以找图形上用两点式求。但我们把握了实际问题的 k, 就是对应单价，速度，工效，那个每多少的东西就好办了。这样求解 析式会轻松些,这就要我们仔细体会均匀变化这句话了。这样才能很 好把握 k，这对数形结合要求就比较高了。实际上有心的孩子在用二 元一次方程组求解析式的时候就能体会这句话的深意。 还有个问题提下就是给出三个整点求面积的问题只要往坐标轴 上作垂线转化为直角梯形解决问题就可以了。这就是陌生问题熟悉 化。 还有一类题 y=(3m-2)x+(2m-3)一定过第几象限。 一般孩子是分类 讨论对 k,b 还要考虑不是一次函数的情况。分类要细致。我们处理此 类问题可以变换主元把 m 当未知数得到 y=(3x+2)m-(2x+3) 如果过 定点 m 的系数为 0 得到 x=-2/3 此时 y=-5/3 就知道一定过三象限这就 可以避免讨论。还有的题说某直线不过第四象限。并不能习惯认为过 1,2,3 象限还要考虑正比例函数以及不是一次函数的情况。这需要我 们思维的细腻和严谨，同时需要培养逆向思维的能力。很多一次函数 问题会结合一元一次不等式组的。比如含有参数的方程。先把 xy 当 未知数其它字母当已知数求出解再解不等式组。 这几个部分都是一次 函数应用的难点，希望大家注意。
总之要学好函数要以运动观点看问题，再就是要很好把握函数 图象。一条直线的问题只要把握了与坐标轴交点就好办了，至于正比
例函数就把握原点和（1，k)就可以了。处理一次函数问题还要善于 带入解决问题，它是代数的深化，也是学习二次函数，解析几何的基 础一定要学好。要适应教材的要求不能被淘汰。再就是注重概念的理 解，理解好 k,b 相信大家能学好一次函数。