Question

1³+2³+3³+4³+……+n³＝？

Answer 1

1³+2³+……+n³=[n(n+1)/2]²
公式推导：
利用立方差公式：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

Answer 2

公式：
1³+2³+3³+4³+……+n³=[½n(n+1)]²

此公式为高中学习数列时会遇到的的公式。属于必记公式之一。

Answer 3

引用032477aa的回答：
1³+2³+……+n³=[n(n+1)/2]²
公式推导：
利用立方差公式：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

1³+2³+……+n³=[n(n+1)/2]²
公式推导：
利用立方差公式：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)²+n²][(n+1)²-n²]
=(2n²+2n+1)(2n+1)
=4n³+6n²+4n+1
2^4-1^4=4×1³+6×1²+4×1+1
3^4-2^4=4×2³+6×2²+4×2+1
4^4-3^4=4×3³+6×3²+4×3+1
.
(n+1)^4-n^4=4×n³+6×n²+4×n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4×(1³+2³+3³...+n³)+6×(1²+2²+...+n²)+4×(1+2+3+...+n)+n

4×(1³+2³+3³+...+n³)=(n+1)^4-1-6×[n(n+1)(2n+1)/6]-4×[(1+n)n/2]-n
=[n(n+1)]²
∴1³+2³+3³+…+n³＝[n(n+1)/2]²