Question

若关于x的方程|x|/(x-1)=kx^2有四个不同的实数根,求k取值范围

当x=0、1时 得到|x|/x2(x-1)=k
1/k=|x|(x-1)
既然k是常数，那么第一个y=1/k就是平行于x轴的
只要画出y=|x|(x-1)的图像
可是为什么这两个图像没有四个交点的时候？

Answer 1

解
对于方程|x|/(x-1)=kx^2
显然，x≠1
x=0是他的一个根
又由于方程有四个不同的实数根
因此除x=0以外还应当有三个实数根
当x≠0时，方程变为k=1/[|x|(x-1)]
由于x≠0、k=0时方程无解
因此k≠0
于是方程再次变形为
|x|(x-1)=1/k
令y=|x|(x-1) 则有
① y=x(x-1) =x²-x=（x-1/2）²-1/4 (x＞0 )
② y=-x(x-1) =-x²+x=-（x-1/2）²+1/4 (x＜0)
显然① ②是两条分段连接的抛物线，
第①条在坐标系的右半部分（x＞0 ），开口向上，顶点为（1/2，-1/4）
第②条在坐标系的左半部分(x＜0)，开口向下，顶点为（1/2，1/4）但只能取x＜0的部分
两段的交点在（0,0）处
显然要使这两段抛物线与直线y=1/k有三个交点必须使
-1/4≤1/k＜0 即-4≤k＜0
所以使方程|x|/(x-1)=kx^2有四个不同的实数根的k取值范围是[-4，0)

Answer 2

你在变形时，有增根和漏根，最后产生了增根：x=1.
只要画出y=|x|(x-1)的图像
估计，你在画图像时出了错：
x>=0 时， y=x(x-1)
x<0 时， y=-x(x-1)
再移动 y=1/k 观察即可得出结论（注意x不等于1，要去掉x=1这一点）。