Question

求函数y=(3-sinx)/(2-cosx)的值域

y=(3-sinx)/(2-cosx)变为
sinx-ycosx=3-2y再用辅助角公式接下去怎么做

Answer 1

sinx-ycosx=3-2y
√(1²+y²)sin(x+φ)=3-2y 可以不必管φ是多少
sin(x+φ)=（3-2y)/√(1²+y²)
因为 |sin(x+φ)|=<1
所以 |(3-2y)/√(1²+y²)|=<1
两边平方化简解得：3y²-12y+8=<0

这个自己解了，嘿嘿 其实还可以用集合意义来做啦，你可以自己试试

Answer 2

sinx-ycosx=3-2y变为
3-2y=sinx-ycosx
=√ （1+y²）[√ 1/（1+y²）]sinx-[y/√ （1+y²）]cosx
=√ （1+y²）sin(x- α) —— sinα=y/√ （1+y²），cosα=√ 1/（1+y²）
因为 |sin(x- α)|= ≤1
所以 |√ （1+y²）sin(x- α)|≤√ （1+y²）
所以有不等式
|3-2y | ≤√ （1+y²）
解此不等式得
2-2√ 3/3≤y≤2+2√ 3/3
因此 函数y=(3-sinx)/(2-cosx)的值域是
y∈[2-2√ 3/3，2+2√ 3/3]