Question

一道关于极限的问题

e^x/(1+1/x)^x^2 求当x趋于无穷时的极限 为什么不能用2个重要极限的内容，就是直接等于e，极限为1？

Answer 1

分母的次数是2次，不能很好的用(1+1/x)^x的函数来表达，所以不能直接代
应该用取对数的方法

ln[e^x/(1+1/x)^x^2] = x - x^2ln(1+1/x) = 1/t - ln(1+t) / t^2 = (t - ln(1+t))/t^2 = (1-1/(1+t))/2t = 1/2(1+t) = 1/2
所以e^x/(1+1/x)^x^2的极限是e^(1/2)

Answer 2

=lim(x→∞)e^x / e^x^2·ln[(1+1/x)]
=e^ lim(x→∞) (x - x^2·ln[(1+1/x)])
令u=1/x，则u→0.
原式=e^ lim(u→0) (1/u - ln[(1+u)] /u²)
=e^ lim(u→0) ( (u - ln[(1+u)] ) /u²)
=e^ lim(u→0) ( (1 - 1/(1+u) ) /2u)
=e^ lim(u→0) ( 1/[2(1+u)] )
=e^(1/2)
即√e

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