二重微积分问题，“设f（x,y）在单位圆上有连续一阶偏导数，且在边界值上取值为零”这句话怎么理解？ 10
单位圆边界就是x＾2＋y＾2＝1，
即x＝cost，y＝sint，0≤t≤2π。
f（x，y）在单位圆边界值上取值为零，即f（cost，sint）＝0，
也可以写成f(cosx,sinx)=0，所以∫<0→2π>f(cosx,sinx)dx=0050。
设h（x，y）＝f（x，y）－g（x，y）．
则h（x，y）在D上有连续偏导数，且在∂D上恒等于0．
由h（x，y）连续，D是有界闭区域，h（x，y）可在D上取得最大最小值．
若最大最小值都是在∂D上取得，即有h（x，y）的最大最小值都是0．
h（x，y）恒等于0，f（x，y）＝g（x，y）对任意（x，y）∈D成立．
于是▽f（x，y）＝▽g（x，y）也对任意（x，y）∈D成立，自然也对（x，y）∈D＾0成立．
若最大最小值不都在∂D上取得，设h（x，y）在（x0，y0）∈D＾0处取得最大值或最小值．
则有▽f（x0，y0）－▽g（x0，y0）＝▽h（x0，y0）＝0．
即存在（x0，y0）∈D＾0，使▽f（x0，y0）＝▽g（x0，y0）。
扩展资料
举例
设f（x，y）在D：x2＋y2≤1上有连续偏导数，且在边界上函数值为零，f（0，0）＝2008．则
limε→0＋∬ε2≤x2＋y2≤1xf′x＋yf′yx2＋y2dxdy等于：
因为
∬ɛ2≤x2＋y2≤1xf′x＋yf′yx2＋y2dxdy
＝∬ɛ2≤x2＋y2≤1（∂∂x（xx2＋y2f（x，y））＋∂∂y（yx2＋y2f（x，y）））dxdy－∬ɛ2≤x2＋y2≤1（∂∂x（xx2＋y2）＋∂∂y（yx2＋y2））f（x，y）dxdy＝I1＋I2．计算可得，I2
＝∬ɛ2≤x2＋y2≤10dxdy＝0．注意到f（x，y）在x2＋y2＝1上的函数值为零，故利用格林公式以及积分中值定理可得可得，
I1＝∮x2＋y2＝1xx2＋y2f（x，y）dy−yx2＋y2f（x，y）dx－∮x2＋y2＝ɛ2xx2＋y2f（x，y）dy−yx2＋y2f（x，y）dx
＝0－1ɛ2∮x2＋y2＝ɛ2xf（x，y）dy−yf（x，y）dx
＝－1ɛ2∬x2＋y2≤ɛ2［（f＋xf′x）＋（f＋yf′y）］dxdy
＝－π（2f（ξ，η）＋ξf′x（ξ，η）＋ηf′y（ξ，η）），其中ξ2＋η2＝1。
因此，∬ɛ2≤x2＋y2≤1xf′x＋yf′yx2＋y2dxdy＝－π（2f（ξ，η）＋ξf′x（ξ，η）＋ηf′y（ξ，η）），
ξ2＋η2＝1．当ɛ→0时，（ξ，η）→（0，0），又因为f（x，y）在D：x2＋y2≤1上有连续偏导数，所以，
limɛ→0∬ɛ2≤x2＋y2≤1xf′x＋yf′yx2＋y2dxdy
＝－limɛ→0π（2f（ξ，η）＋ξf′x（ξ，η）＋ηf′y（ξ，η）
＝－2πf（0，0）
＝－4016π．
故答案为：－4016π。
f（x,y）在单位圆 边界值上取值为零，即f(cost,sint)=0，也可以写成f(cosx,sinx)=0，
所以∫<0→2π>f(cosx,sinx)dx=0
