Question

若关于x的不等式ax^2-bx+c<0的解集为(-∞,a)∪(β,+∞),其中a<β<0,则不等式cx^2+bx+a>0的解集为____

要完整的过程
谢谢

Answer 1

解：不等式ax²-bx+c<0的解集为(-∞,a)∪(β,+∞),
∴a＜0且a，β为方程ax²-bx+c=0的两根
根据韦达定理 a+β=b/a aβ=c/a
∵a<β<0
∴0满足不等式ax^2-bx+c<0
∴c＜0
对于方程cx²+bx+a=0两根设为x1，x2 根据韦达定理
x1+x2=-b/c x1x2=a/c
∵a+β=b/a aβ=c/a
∴x1+x2=-(1/a+1/β) x1x2=1/aβ
解得x1=-1/a x2=-1/β
∵a<β<0
∴-1/a＜-1/β
∴不等式cx^2+bx+a>0的解集(-1/a,-1/β)

Answer 2

由解集的形式可知a＜0，
α，β＜0，于是αβ=c/a＞0，得c＜0
ax^2-bx+c=0的解为α，β，
cx^2+bx+a=0，两边同乘以1/x²得a（1/x）²+b（1/x）+c=0，解为x1=1/α，x2=1/β
显然cx^2+bx+a=0的解为1/α，1/β
a＜β＜0，于是1/β＜1/α＜0
而c＜0，于是cx^2+bx+a>0解集的形式为两根之间
即（1/β，1/α）