Question

设f'(lnx)=x+1,f(0)=0,求f(x)。

Answer 1

f'(lnx)=x+1
换元，y=lnx，x=e^y
f'(y)=e^y+1
改写，f'(x)=e^x+1
再求不定积分
f(x)
=∫f'(x)dx
=∫(e^x+1)dx
=∫e^xdx+∫dx
=e^x+x+C
又有，f(0)=0
那么，f(x)=e^x+x-1
有不懂欢迎追问

Answer 2

我与楼上有不同意见，
我认为题目不清，
导数应该写成微分形式，
若是导到x上，
就应该直接积分，
即解常微分方程：
df(lnx)/dx=x+1
解得：f(x)=(e^x+1)^2/2+C,
又f(0)=0，所以C=-2,
所以f(x)=(e^x+1)^2/2-2。

Answer 3

f'(lnx)=x+1
令y=linx
f'(y)=e^y+1
积分得
f(y)=e^y+y+b
因为f(0)=0
b=-1
f(x)=e^x+x-1