关于利用等价无穷小代换求极限
我知道等价无穷小代换应该在乘积项里面用，但是我现在有一个困惑。如果分子是两项和，比如（sinx+1-cosx）/x^2，那么可以不可以拆成（sinx/x^2）+（1-co...
我知道等价无穷小代换应该在乘积项里面用，但是我现在有一个困惑。
如果分子是两项和，比如（sinx+1-cosx）/x^2 ，那么可以不可以拆成（sinx/x^2）+（1-cosx）/x^2 这两项的和，然后分别用无穷小代换，再合起来呢？这道题应该是可以的吧？因为算出来是一样的。
但是如果拆开的两项还是未定式呢？是不是就不可以了？
我今天做一题，我拆开之后，两项分别用了无穷小代换，然后得到了两个相反的项，然后消掉为0了，但是实际上这个极限不为了0
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如果分子是两项和，比如（sinx+1-cosx）/x^2 ，那么可以不可以拆成（sinx/x^2）+（1-cosx）/x^2 这两项的和，然后分别用无穷小代换，再合起来呢？这道题应该是可以的吧？因为算出来是一样的。
但是如果拆开的两项还是未定式呢？是不是就不可以了？
我今天做一题，我拆开之后，两项分别用了无穷小代换，然后得到了两个相反的项，然后消掉为0了，但是实际上这个极限不为了0
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1个回答
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等价无穷小代换只能用在乘除上，不能用在加减上
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追问
我知道啊，您能不能回答问题里面我不知道的东西
追答
所谓等价无穷小其实为了求解极限方便而引入的概念，根据依然是泰勒展开，只不过是泰勒展开的低阶近似。
之所以老师们一再强调只有乘除关系可以替换，是因为乘除关系中，展开的阶次不影响结果，但是加减中不同，例如sinx-x不能用x替换sinx，原因不是说sinx在加减位置上，而是因为此时sinx用x替换的误差太大，精度不够，导致减去x后变为0，而其实还有一个等价无穷小替换是sinx-x~x^3/6，这里之所以这样替换其实是将sinx展开到了更高的精度，这样计算才不会出错。
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