Question

全微分为什么是各个自变量的偏增量之和呢？为什么不是它们的积呢？书上定义全微分有什么理论依据啊？

Answer 1

可以用一个比较几何比较不严格的方式解释么？

姑且以2元函数举例（其他应该也差不多），设z=f(x,y)。
则z对x的偏微分z+dx(z)=f(x+dx,y)（这么表示很外行而且很别扭对吧，但是那个符号找不到。敬请将dx(z)理解为z对x的偏微分。微分符号乱写的问题也忍耐下吧）。
z+dx(z)再对y的偏微分z+dx(z)+dy(z+dx(z))=f(x+dx,y+dy)。
鉴于dx可以理解为是“无穷小增量”，所以函数在z和在(z+dx(z))的对y的偏微分是等价的，亦即z+dx(z)+dy(z)=f(x+dx,y+dy)。
综上所述，当x，y同时有“无穷小增量”（用词不专业，请原谅）时，z的总增量是dx(z)+dy(z)。并将此定义为z的全微分。

关于几何解释，仍以2元函数说。在空间坐标系中，函数图像呈一个曲面。取一极小“微元”，四端点(x,y),(x,y+dy),(x+dx,y),(x+dx,y+dy)，（z轴坐标稍候讨论）可看作平面。。设初始点(x,y,z)，则由于是平面，对边平行（否则就是异面，不会相交）,由此可以证明，另三点坐标(x,y+dy,z+dy(z)),(x+dx,y,z+dx(z))(x+dx,y+dy,z+dx(z)+dy(z))。（这是立几问题）
所以z的总增量就是各偏微分之和。

由于我也不是很熟练，不严格处见谅。