Question

设函数f(x)=(x-3)^3+x-1,已知数列An是公差不为0的等差数列,且f(a1)+...f(a7)=14则a1+a2...+a7=?答案是21.

设函数f(x)=(x-3)^3+x-1,已知数列An是公差不为0的等差数列,且f(a1)+...f(a7)=14则a1+a2...+a7=?答案是21.怎么来的求啊！解答了给分

Answer 1

解：∵f（x）=（x-3）^3+x-1，∴f（x）-2=（x-3）^3+x-3，
令g（x）=f（x）-2
∴g（x）关于（3，0）对称
∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14
∴f（a1）-2+f（a2）-2+…+f（a7）-2=0
∴g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0
∴g（a4）为g（x）与x轴的交点
因为g（x）关于（3，0）对称，所以a4=3
∴a1+a2+…+a7=7a4=21，

追问

,

追答

这个数列如果画成图就是一次函数上的点，由于An是等差数列且
g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0所以g（a1）和g（a7） g（a2）和g（a6）……必然是关于原点对称，a4为1-7的中位数所以g（a4）为g（x）与x轴的交点

Answer 2

析：∵{an}是公差不为0的等差数列, f(a1)+f(a2)+……+f()a7=14
∴[(a1-3)^3+a1-1]+ [(a2-3)^3+a2-1]+…+[(a7-3)^3+a7-1]=14
f(x)-2=(x-3)^3+(x-3)是关于（3，0）对称的，
f(A1)-2+f(A2)-2+.....+f(A7)-2=14-2*7=0
所以A4=3
A1+A2+.....+A7=7*A4=21
∵函数h(x)=x^3为奇函数，关于原点中心对称
∴h(x-3)= (x-3)^3，关于点(3,0)中心对称
∵{an}是公差不为0的等差数列
∴h(a1)+h(a2)+.....+h(a7)=0
∴函数图像上的点(a1,h(a1)),(a2,h(a2)),…与(a7,h(a7)),(a6,h(a6)),…关于点(a4,h(a4))中心对称
又(a4,h(a4)=(3,0)
∴(a1-3)^3+[(a2-3)^3+…+[(a7-3)^3=0
∴[(a1-3)^3+a1-1]+ [(a2-3)^3+a2-1]+…+[(a7-3)^3+a7-1]=14
a1-1+a2-1+…+a7-1=14
a1+a2+…a7=7+14=21

Answer 3