Question

在三角形abc中,角abc的对边分别为abc,且acosc,bcosb,ccosa成等差数列，1求角b 2求cos2A+cos(A-C)

Answer 1

1.
因为acosC、bcosB、ccosA成等差数列，
所以，acosC+ccosA=2bcosB
根据正弦定理：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，代入上式并消去2R得：
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB
即：sin(A+C)=2sinBcosB
因为A+C+B=180，所以A+C=180-B，因此由诱导公式上式又可以化为：
sinB=2sinBcosB
因为sinB不等于0，所以两边约去sinB，得：
1=2cosB
即：cosB=1/2
因为角B是ΔABC的内角，所以0<B<180度，因此，角B=60度。

2.
B=60度，A+C=120°.
cos2A+cos(A-C)
= cos2A+cos(A-(120°-A))
= cos2A+cos(2A-120°)
= cos2A+cos2Acos120°+sin2A sin120°
= cos2A-1/2*cos2A+√3/2* sin2A
=1/2*cos2A+√3/2* sin2A
=sin(2A+30°),
因为0°<A<120°,
30°<2A+30°<270°,
所以-1<sin(2A+30°)≤1，
即cos2A+cos(A-C)的取值范围是(-1,1].