Question

已知多项式x的三次方+ax的平方+bx+c能够被x的平方+3x-4整除

（1）求4a+c的值
（2）求2a-2b-c的值
（3）若a、b、c均为整数，且c大于等于a大于1，试求a、b、c的值

Answer 1

设
x^3 +ax^2 +bx +c= (x^2+3x-4)*(x- c/4)
将(x^2+3x-4)*(x- c/4)展开，
得到
x^3 +ax^2 +bx +c=(x^2+3x-4)*(x- c/4)= x^3 +(3- c/4)x^2 - (4+ 3c/4)x+ c，
比较系数，
所以
a=3 - c/4，即c/4 +a=3，
所以4a+c=12

而b= -4 - 3c/4
即2b= -8 - 3c/2
所以
2a-2b-c= 2a -c +8+ 3c/2= 2a +c/2 +8=(4a+c)/2 +8 =6+8=14

若a、b、c均为整数，且c大于等于a大于1，
由4a+c=12可以知道
a为整数的话可以取2或3，
但是c大于等于a，
故a=2，c=4，
解得b= -7

Answer 2

已知，x³+ax²+bx+c 能够被 x²+3x-4 整除，可设商式为 x+n ，
则有：x³+ax²+bx+c = (x²+3x-4)(x+n) = x³+(n+3)x²+(3n-4)x-4n ，
比较对应项的系数，可得：a = n+3 ，b = 3n-4 ，c = -4n ；

（1）4a+c = 4(n+3)-4n = 12 ；
（2）2a-2b-c = 2(n+3)-2(3n-4)-(-4n) = 14 ；
（3）若a、b、c均为整数，则 n = a-3 也是整数；
已知，c ≥ a > 1 ，即：c ≥ a 且 a > 1 ，
可得不等式组：-4n ≥ n+3 ， n+3 > 1 ，
解得：-2 < n ≤ -3/5 ，其中 n 为整数，则有：n = -1 ，
可得：a = n+3 = 2 ，b = 3n-4 = -7 ，c = -4n = 4 。