如图，高中数学，求详细过程（第二小题可以只写步骤不写答案）
好的LZ
第一题是一个基础题,技巧是巧设直线,方法是韦达定理的简单应用.除开技巧全是基础套路.
(1)y^2=8x抛物线是一个开口向右的抛物线,2p=8 焦点(2,0),准线x=-2
显然如果l的斜率是k,k=0时l不可能与抛物线有2个交点;而k不存在时,l与抛物线交点的中点纵坐标是0,都不符合题意
那么过点M(1,0)的直线可设为 x=ay+1 这里(a=1/k)
[技巧:一般地,知道y轴截距设为y=kx+b,那么知道x轴截距,设为x=ay+c是最简方案]
代入抛物线y^2=8x
得 y^2=8(ay+1)
y^2-8ay-8=0
这个方程的解y1,y2即是AB两点的纵坐标
今已知AB两点中点纵坐标是8,也就是说(y1+y2)/2=8
而根据之前我们得到的关于y的二次方程,由韦达定理y1+y2=8a
所以8a/2=8 a=2 所以所求直线斜率 k=1/a=1/2
(2)直线倾斜角45度意味着k=1 可求得直线l y=x-1
它与y^2=8x 联立
(x-1)^2=8x
x^2-10x+1=0
根据韦达定理
x1+x2=10
x1x2=1
这个方程的两个根即是AB横坐标x1,x2
而A(x1,x1-1) B(x2,x2-1)
动点P在x=x0上运动,那么不妨设P(x0,m)
根据提意
k1+k2-2k3=T T为一个常数定值,与任何未知数无关(这一题中的未知数是P的纵坐标m)
[技巧:千万千万提醒自己,AB我们没有具体求出来,但要假装x1x2已知,x0是要求的东西,那么会变的东西只有m,其它都不算未知数!]
[技巧其2:第二题再怎么不会做也请写到这一步为止!截止这里都是基本的数学素质...]
现在,我们把k1,k2,k3的关系式代入
(m-y1)/(x0-x1)+(m-y2)/(x0-x2)-2m/(x0-1)=T
[技巧:前2式通分,第3式先留着!]
{m(x0-x2)+m(x0-x1)-[y1(x0-x2)+y2(x0-x1)]}/[(x0-x1)(x0-x2)]} -2m/(x0-1)=T
这里,[y1(x0-x2)+y2(x0-x1)]/[(x0-x1)(x0-x2)=S S也是一个和m毫无关系的常数
所以原式
m(2x0-x1-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)] -S -2m/(x0-1)=T
m{(2x0-x1-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)]-2/(x0-1)}=S+T
S+T是一个和m毫无关系的常数,这就说明和m相乘的(2x0-x1-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)]-2/(x0-1)=0
在这个式子里,x1+x2=10 x1x2=1代入
(2x0-10)/[x0^2-10x0+1]-2/(x0-1)=0 (通分吧!)
2x0^2-12x0+10-2x0^2+20x0-2=0
x0=-1
[你以为这样就大功告成了?对不起,会扣1分!]
x0=-1代入通分前分式,分母不为0,确实是原方程的解.
故x0=-1
[第二题的难在于必须思考未知数是谁!准确把握明明有未知数,结果却和未知数无关-->"未知数的系数是0"得到答案的方向.在第二题过程中剩下的套路依然是韦达定理的应用.]
