Question

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动点P从点A出发， 沿AC向终点C移动

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动点P从点A出发，

沿AC向终点C移动 过点P分别作PM平行AB 交BC于点M，PN平行AD交CD于点N，连接AM 设AP=X
（1）四边形PMCN有可能是菱形吗？
（2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等

Answer 1

解：（1）四边形PMCN不可能是菱形
用反证法：
假设四边形PMCN是菱形，
则PM=MC=CN=NP
∵AC⊥BC
∴∠ACB=90度
∵在直角△PCM中，PM为斜边，MC为直角边
∴PM>MC
PM不可能等于MC，从而与题设四边形PMCN是菱形相矛盾，所以四边形PMCN不可能是菱形

（2）设AP=X
∵ PM//AB， PN//AD，AC=BC=2，AC⊥BC
∴PC=2-X，BM=X，MC=2-X
∴PMCN的面积：（2-X）*（2-X），S△ABM=2X/2=X
（2-X）*（2-X）=X
解得X=1，X=4（不合题意，舍去）
当X=1时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等。

Answer 2

第一问 不可能 菱形条件是PN=CN 从已知很容易得到PN⊥PC 那么△CPN就是直角三角形 PN是一条直角边 而CN是斜边 二者不可能相等
第二问 △ ABM的面积为½BM×AC 而 四边形PMCN的面积为两个小直角三角形的面积和 为 CM² 由已知容易得到BM=AP MC=CP 因为½BM×AC=CM² 所以代换一下就是½AP×AC=CP² 继续代换化简后得到 AP=CP 即P为AC终点 也就是X=1时

Answer 3

1.不可能，菱形的内角是60度和120度，由图可知PC垂直于MC所以角PCM为90度，如果是菱形角PMC为60度。
2.PNCM的面积是：根号2*MC*mc/根号2=mc平方
ABM的面积是BM*2/2=BM
所以面积相等必须mc平方=mb
mc=pc=2-x
mb=mc=1
x=1