Question

一道高三数学立体几何的题（不要用建系的方法做）

如图，已知四棱锥P-ABCD，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AD=根号2，CD=4，PD=2，E为AP上一点，DE⊥AP，F是平面DEC与BP的交点
（1）求证：AP⊥平面EFCD
（2）求PC与平面EFCD所成角的正弦值

Answer 1

（1）
∵PD⊥平面ABCD，∴CD⊥PD。
∵CD⊥AD、CD⊥PD、PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAD，∴PA⊥CD。
由PA⊥DE、PA⊥CD、DE∩CD＝D，得：PA⊥平面EFCD。
（2）
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD＝√2、PD＝2，∴PA＝√（AD^2＋PD^2）＝√10。
∵DE⊥PA、PD⊥AD，∴DE·PA＝PD·AD，∴√10DE＝2√2，∴DE＝2/√5。
由射影定理，有：PE·PA＝PD^2，∴√10PE＝4，∴PE＝4/√10。
∵CD⊥平面PAD，∴DE⊥CD，∴CE^2＝DE^2＋CD^2，
∵PA⊥平面EFCD，∴PE⊥CE，∴PC^2＝PE^2＋CE^2＝PE^2＋DE^2＋CD^2，
又DE＝2/√5、CD＝4，∴PC^2＝16/10＋4/5＋16＝12/5＋16＝92/5，∴PC＝4√23/√5。
∵PE⊥平面EFCD，∴∠PCE＝PC与平面EFCD所成的角。
而sin∠PCE＝PE/PC＝（4/√10）/（4√23/√5）＝√46/46。
∴PC与平面EFCD所成角的正弦值为√46/46。