Question

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E、F、M、N分别是A1B1、BC、D1C1、B1C1的中点。

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E、F、M、N分别是A1B1、BC、D1C1、B1C1的中点。（1）求证：MN⊥平面ENF（2）求三棱锥E-MNF的体积（3）求二面角M-EF-N的正切值

Answer 1

如图所示: 
(1) 连接A1C1,B1D1,相交于O,MN,EN均为△的中位线, ∴ MN∥B1D1,EN∥A1C1, 而A1C1⊥B1D1, ∴ MN⊥EN.又FN⊥面A1C1, ∴ FN⊥MN, EN∩FN=N, 
∴ MN⊥面ENF 
(2) 三棱锥E-MNF的体积=三棱锥M-ENF的体积=△ENF的面积×MN/3, 
∵ MN=EN=√2a/2, ∴ △ENF的面积=EN×NF/2=√2a^/4, 
∴ 三棱锥E-MNF的体积=(√2a^/4)×(√2a/2)/3=a^3/12 
(3) 设二面角M-EF-N的二面角的平面角为θ.由(1)知,MN⊥面ENF,∴ △MEF在面ENF的射影是△ENF,由面积射影定理,得 
cosθ=△ENF的面积/△MEF的面积, 易得EF=MF=√6a/2, FO=√5a/2,等腰△MEF的面积=√5a^/4(见附图), ∴ cosθ=(√2a^/4)/(√5a^/4)=√2/√5, 
∴ tanθ=√6/2, ∴ 二面角M-EF-N的正切值为√6/2.