Question

一道高中导数题

Answer 1

（1）求导，并分析导函数：
f'=lnx+1+a/x²≥0,a>0
x≥1,上式满足。
f''=1/x-2a/x³=（1/x）（1-2a/x²），0<x<1,
1-2a/x²≥0，
x²≥2a，x≥√（2a），
如果a≥1/2，上式不成立，f''<0,f'减函数，f'(1)最小=1+a>0,原函数是增函数。
0<a<1/2:
x=√（2a）时，f''=0,f'极小
f'(√（2a）=ln√（2a）+1+a/4a=ln√（2a）+5/4≥0
ln√（2a）≥5/4
√（2a）≥e^(5/4)
2a≥e^(5/2),
a≥（1/2）e^(5/2)=6.09124698
矛盾。
因此，结论是a≥1/2
（2）0<x<1,f(x)>0
f(x)=xlnx-a/x+1>0
f'(x)=lnx+1+a/x²
f''(x)=1/x-2a/x³
=（1/x)(1-2a/x²）
如果a<0,f''>0,f'是增函数，x-->0,f'(x)-->-∞，f'(1)=1+a,
如果a≤-1,f'(x)<0,f(x)减，f(1)最小=-a+1>0,满足题意；
如果-1<a<0,
在（0,1），有x0，f'(x0)=lnx0+1+a/x0²=0
f(x0)=x0lnx0-a/x0+1>0
x0(-1-a/x0²）-a/x0+1>0
-x0-a/x0-a/x0+1>0
-x0-2a/x0+1>0
x0<-2a/x0+1
右边>1,上式恒成立。
因此，也满足题意。
所以，a<0满足题意；
a=0，f(x)=xlnx<0；
a>0,f(x)=xlnx-a(1/x-1)
1/x-1>0,后项负，xlnx<0，f(x)<0,不满足题意。
结论：a<0