Question

设x,y,z为正实数,且xyz=1,求证x²+y²+z²+xy+yz+zx≥2(根号x+根号y+根

设x,y,z为正实数,且xyz=1,求证x²+y²+z²+xy+yz+zx≥2(根号x+根号y+根设x,y,z为正实数,且xyz=1,求证x²+y²+z²+xy+yz+zx≥2(根号x+根号y+根号x）
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Answer 1

x²+y²+z²+xy+yz+zx
= x²+y²+z²+(xyz/z)+(yzx/x)+(zxy/y)
= x²+y²+z²+(1/z)+(1/x)+(1/y)
= [x²+(1/x)]^2+[y²+(1/y)]+[z²+(1/z)]
≥ 2根号x+2根号y+2根号z
= 2(根号x+根号y+根号z)

Answer 2

证 （1）记t＝xy+yz+xz 3 ，∵x，y，z＞0．由平均不等式xyz＝(3xy?yz?xz )3 2 ≤(xy+yz+zx 3 )3 2 于是4=9xyz+xy+yz+xz≤9t3+3t2， ∴（3t-2）（3t2+3t+2）≥0，而3t2+3t+2＞0， ∴3t-2≥0，即t≥2 3 ． ∴xy+yz+zx≥4 3 ．（2）又∵（x+y+z）2≥3（xy+yz+zx）=4，x，y，z＞0． ∴x+y+z≥2．