Question

求不定积分（请写出过程）

Answer 1

解：(1)题，∵x³+x²+2=x³+2x-2x+x²+2，
∴原式=∫(x+1)dx/(x²+2)-∫2xdx/(x²+2)²=(1/2)ln(x²+2)+(1/√2)arctan(x/√2)+1/(x²+2)+C。
(2)题，∵x³+8=(x+2)(x²-2x+4)，设1/(x³+8)=a/(x+2)+(bx+c)/(x²-2x+4)，解得a=1/12、b=-1/12、c=1/3，∴原式=(1/12)ln丨x+2丨-(1/12)∫(x-4)dx/(x²-2x+4)=(1/12)ln丨x+2丨-(1/24)ln(x²-2x+4)+[1/(4√3)]arctan[(x-1)/√3]+C。
(3)题，设x=2t，∴cotx/(sinx+cosx+1)=cos2t/[sin2t(sin2t+cos2t+1)]=(cost-sint)/(4sintcos²t)=1/(2sin2t)-(1/4)sec²t，∴原式=∫[1/(2sin2t)-(1/4)sec²t]dt=(1/4)[ln丨tant丨-tant]+C。∴原式=(1/4)ln丨tan(x/2)丨-(1/4)tan(x/2)+C。
(4)题，原式=(1/3)∫(3x+3)(3x+1)^(-1/3)dx=(1/3)∫[(3x+1)^(2/3)+2(3x+1)^(-1/3)]dx=[(x+2)/5][(3x+1)^(2/3)+C。
(5)题，设x=t^6，∴原式=6∫t²dt/(1+t²)=6t-6arctant+C=6x^(1/6)-6arctan[x^(1/6)]+C。
供参考。