Question

如图,已知圆O的两条半径OA与OB互相垂直,C为弧AMB上的一点,且AB^2+OB^2=BC^2,求∠OAC的度数

是75°和15°，但我始终想不出为什么，过程能详细点吗？

Answer 1

∵OA=OB=r ∴AB=√2·r

∵AB²+OB²=BC²

∴﹙√2·r﹚²+r²=BC² 即BC=√3·r

如图,延长BO交⊙O于D

作∠BDC=60 º  ∠BDC’=60 º 连接BC,BC’,ACAC’ 

在△BDC中∵BD是直径，∠BDC=60 º，点C在⊙O上 

∴∠BCD=90 º ∠CBD=30º  ∴DC=r  BC=√3·r

∵∠1=½∠AOD=45º

∴∠2＝180º-60º-45º=75º

∵∠3＝∠2＝75º

∴∠OAC=90º-∠3=90º-75º=15º

同理，∠C’BD=30º ∴∠CBC’=60º=∠CAC’

    ∴∠OAC’=∠CAC’+∠OAC=60º+15º=75º

Answer 2

C有两处，假设C在BO延长线的右边。
延长AO交圆于D，延长BO交圆于E，因为BE是直径，所以∠BCE是直角，CE^2=BE^2-BC^2=(2r)^2-(AB^2+OB^2)=4r^2-(r^2+r^2+r^2)=r^2，即CE=r，∠CBE=30
∠OAC=∠CBD=45-30=15

找C关于BE的对称点G，∠CAG=∠CBG=30+30=60，∠OAG=15+60=75