Question

复变函数的问题

复变函数的问题第五小题怎么弄成做记号的这个？

Answer 1

cosz=（e^iz+e^-iz）/2,sinz=（e^iz-e^-iz）/i2,tanz=sinz/cosz,设z=cosw,那么称w为z的反余弦函数,记作w=arccosz.由z=cosw==（e^iw+e^-iw）/2,得e^2iw-2ze^iw+1=0,方程的根为e^iw=z+根号（z^2-1）,两边取对数得arccosz=-iLn（z+根号（z^2-1））.用上面同样的步骤可得到arctanz=-i/2Ln【(1+iz)/(1-iz)】.

Answer 2

解析：
//欧拉公式(推导省略)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/2
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
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设arctanz=θ，则tanθ=z
sinθ/cosθ=z
[e^(iθ)-e^(-iθ)]/[e^(iθ)+e^(-iθ)]=z/1
[2e^(iθ)]/[2e^(-iθ)]=(1+z)/(1-z)
e^(2iθ)=(1+z)/(1-z)
Ln[e^(2iθ)]=Ln[(1+z)/(1-z)]
2iθ=Ln[(1+z)/(1-z)]
θ=[1/(2i)]●Ln[(1+z)/(1-z)]
此为公式：
arctanz=θ⇒θ=[1/(2i)]●Ln[(1+z)/(1-z)]
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PS：
//很早就看到你的问题了//
//早已收藏，忙，未回答//
//等比定理：
A/B=C/D⇒[(B+A)/(B-A)]=[(D+C)/(D-C)]

Answer 3

不可能，因为连续性导致f(0)=0,
然而解析函数0点都是孤立的(这是一个定理，需要使用级数展开表达式证明)，也就不可能在z=0附近有无穷多的零点。