Question

已知函数f（x）=2coswx(根号3sinwx+coswx),其中w>0,且函数f(x)的图像的相邻两条直线对称轴间距离为π

1：若f（x）=2,求cos((2π)/3-x)? 2:在三角形abc中，角ABC的对边分别是a,b,c,且满足（2a-c）cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围？

Answer 1

1. 函数f（x）=2coswx(根号3sinwx+coswx),其中w>0
=2√3sinwxcoswx+2(coswx)^2
=√3sin2wx+cos2wx+1
=2sin(2wx+π/6)+1
由已知，周期T=2π, 所以，w=1/2, f(x)=2sin(x+π/6)+1=2
sin(x+π/6)=1/2, cos(x+π/6)=±√3/2, （没有角x的条件）
cos((2π)/3-x)= - cos(π/3+x)
= - cos(π/6)cos(x+π/6)+sin(π/6)sin(x+π/6)
= - (√3/2)(±√3/2)+(1/2)(1/2)
=±3/4+1/4
其值为 1，或 -1/2.
2. 由（2a-c）cosB=bcosC， 2acosB=bcosC+ccosB=a(三角形中的射影定理)
cosB=1/2, B=π/3， A+C=2π/3, 0<A< 2π/3 ， π/6<A+ π/6< 5π/6,
f(A)=2sin(A+π/6)+1,
1/2<sin(A+π/6)<=1
2<2sin(A+π/6)+1<=3
函数f(A)的取值范围是(2,3]

追问

额，T=2π，w=1/2?你再想想？

追答

周期是 2π/(2w)=2π, 2w=1, w=1/2.
求周期，必须把三角函数式化为“一角一函数”的形式，再用公式T=2π/|x的系数。

后面的回答 w=1是错的。

Answer 2

已知函数f（x）=2coswx(根号3sinwx+coswx),其中w>0,且函数f(x)的图像的相邻两条直线对称轴间距离为π
1，若f（x）=2,求cos((2π)/3-x)?
2，在三角形abc中，角ABC的对边分别是a,b,c,且满足（2a-c）cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围？
(1)解析：∵函数f(x)=2coswx(√3sinwx+coswx),其中w>0,且函数f(x)的图像的相邻对称轴间距离为π
∴函数f(x),T/2=π==>T=2π==>w=1
∴f(x)=2cosx(√3sinx+cosx)=√3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π/6)+1
∵f(x)=2sin(2x+π/6)+1=2==> sin(2x+π/6)=1/2==>x1=kπ；x2=kπ+π/3
当x=kπ时，cos((2π)/3-x)=cos(x-(2π)/3)=cos(π/3)=1/2；
当x=kπ+π/3时，cos((2π)/3-x)=cos(x-(2π)/3)= cos(kπ-(π)/3)=-cos(π/3)=-1/2
(2)解析：∵在三角形abc中，满足（2a-c）cosB=bcosC
由正弦定理得
(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC==>2sinAcosB=sin(B+C)==>cosB=1/2==>B=π/3
∴A+C=2π/3==>0<A<2π/3
∴f(A)=2sin(2A+π/6)+1
当A=π/6时，f(A)取极大值3，当A=2π/3时，f(A)取极小值-1
∴函数f(A)的取值范围（-1，3]