Question

求函数y=cosx/(sinx-3)的值域

Answer 1

求函数y=cosx/(sinx-3)的值域
解：由原式得ysinx-3y=cosx，即有ysinx-cosx=3y；
令tanφ=y，(-π/2<φ<π/2)，则cosφ=1/√(1+y²)；于是有
tanφsinx-cosx=(sinφ/cosφ)sinx-cosx=(1/cosφ)(sinxsinφ-cosxcosφ)=-[√(1+y²)]cos(x+φ)]=3y
故得cos(x+φ)=-3y/√(1+y²)，由于-1≦cos(x+φ)≦1，故-1≦-3y/√(1+y²)≦1，也就是有：
0≦9y²/(1+y²)≦1，9y²≦1+y²，8y²≦1，y²≦1/8，︱y︱≦√(1/8)=1/(2√2)=(√2)/4，
即-(√2)/4≦y≦(√2)/4. 这就是函数的值域。

追问

令tanφ=y，(-π/2<φ<π/2)，则cosφ=1/√(1+y²)；这一步怎么得到和为什么

追答

1+tan²φ=sec²φ=1/cos²φ，故cos²φ=1/(1+tan²φ)；∴cosφ=±1/√(1+tan²φ)；
由于-π/20，∴cosφ=1/√(1+tan²φ)=1/√(1+y²)；

Answer 2

这就是单位圆上一点（sinx,cosx）到（3,0 ）的连线的斜率的范围
过（3,0）做单位圆的切线
斜率是 k1=-1/2√2=-√2/4，k2=√2/4
因此 y的范围是（-√2/4，√2/4）

追问

能麻烦您用函数的有界性法求解吗？(⊙_⊙)？

追答

这就是单位圆上一点（sinx,cosx）到（3,0 ）的连线的斜率的范围
过（3,0）做单位圆的切线
斜率是 k1=-1/2√2=-√2/4，k2=√2/4
因此 y的范围是（-√2/4，√2/4）

这个方法比较直接，也比较易懂！
不好意思，我暂时还没有想到用有界性法怎么求解！

追问

whenever都要谢谢您，谢谢(⊙o⊙)哦！

追答

不客气，有问题可随时交流！
祝学习进步！

Answer 3

用 蝶儿他（就是以三角形） 方法做
把sinx-3乘过去，利用y在【-1.1】有解来做,试试吧

Answer 4

这是单位圆上一点到（3,0 ）的连线的斜率的范围
过（3,0）做单位圆的切线的斜率是k1=-1/2√2，k2=1/2√2
因此值域是（-1/2√2，1/2√2）