Question

AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．

AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求△BCD的面积。

Answer 1

1、证明：连接AC
∵直径AB
∴∠ACB＝90
∴∠BAC+∠ABC＝90
∵CE⊥AB
∴∠BCE+∠ABC＝90
∴∠BAC＝∠BCE
∵C是弧BD的中点
∴弧BC＝弧DC
∴∠DAC＝∠BAC
∵∠DBC、∠DAC所对应圆弧都为弧CD
∴∠DBC＝∠DAC
∴∠DBC＝∠DAC
∴∠DBC＝∠BCE
∴CF＝CE
2、解：连接OC，交BD于G
∵圆O半径为为3
∴OA＝OB＝OC＝3
∴AB＝2OA＝6
∵直径AB
∴∠ADB＝90
∵AD＝2
∴BD＝√（AB-AD）＝√（9-4）＝√5
∵弧BC＝弧DC
∴∠BOC＝∠DOC
∵OB＝OD
∴OC垂直平分BD
∴OG是△ABD的中位线
∴OG＝AD/2＝1
∴CG＝OC-OG＝3-1＝2
∴S△BCD＝BD×CG/2＝√5×2/2＝√5

Answer 2

（1）证明：连接AC，如图
∵C是弧BD的中点
∴∠BDC=∠DBC
又∠BDC=∠BAC
在三角形ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB
∴∠BCE=∠BAC
∠BCE=∠DBC
∴CF=BF；
（2）解：
作CG⊥AD于点G，
∵C是弧BD的中点
∴∠CAG=∠BAC，
即AC是∠BAD的角平分线．
∴CE=CG，AE=AG
在Rt△BCE与Rt△DCG中，
CE=CG，CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）
∴BE=DG（7分）
∴AE=AB-BE=AG=AD+DG
即6-BE=2+DG
∴2BE=4，即BE=2
又△BCE∽△BAC
∴BC²=BE•AB=12
BC=±2√3（舍去负值）
∴BC=2√3