三角形ABC中D E F分别是AB,BC,CA的中点,BF与CD交于点O,设向量AB=a向量AC=b,证明A O E三点在同一... 30
三角形ABC中DEF分别是AB,BC,CA的中点,BF与CD交于点O,设向量AB=a向量AC=b,证明AOE三点在同一直线上?...
三角形ABC中D E F分别是AB,BC,CA的中点,BF与CD交于点O,设向量AB=a向量AC=b,证明A O E三点在同一直线上?
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△ABC,D.E.F分别是AB BC CA的中点,BF与CD交与点O,设向量AB=a,AC=b,证明AOE三点共线
由于向量符号不好写,以AB记AB向量,AB=-BA
设中线AE与BF交于O
设AO=mAE=m(AC+CE)=(m/2)(2AC-BC)=(m/2)(2AC+CB)
设BO=nBF=n(BC+CE)=(n/2)(2BC-AC),OB=-BO=(n/2)(AC+2CB)
AB=AO+BO=(m+n/2)AC+(m/2+c)BC
又AB=AC+CB
即(m+n/2)AC+(m/2+c)BC=AC+CB
(-1+m+n/2)AC+(-1+m/2+c)BC=0
因为AC,BC不共线
所以m+n/2=m/2+n=1, 解得m=n=2/3
AO=(2/3)AA1
又设AE与CD交于O1,同理可得AO1=(2/3)AE
O与O1重合
所以AE,BF,CD交于一点
三角形三边中线交于一点.
也就是AOE 三点共线
由于向量符号不好写,以AB记AB向量,AB=-BA
设中线AE与BF交于O
设AO=mAE=m(AC+CE)=(m/2)(2AC-BC)=(m/2)(2AC+CB)
设BO=nBF=n(BC+CE)=(n/2)(2BC-AC),OB=-BO=(n/2)(AC+2CB)
AB=AO+BO=(m+n/2)AC+(m/2+c)BC
又AB=AC+CB
即(m+n/2)AC+(m/2+c)BC=AC+CB
(-1+m+n/2)AC+(-1+m/2+c)BC=0
因为AC,BC不共线
所以m+n/2=m/2+n=1, 解得m=n=2/3
AO=(2/3)AA1
又设AE与CD交于O1,同理可得AO1=(2/3)AE
O与O1重合
所以AE,BF,CD交于一点
三角形三边中线交于一点.
也就是AOE 三点共线
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AD=(AB+AC)/2,(用平行四边形可说明),
BE=(BA+BC)/2,CF=(CA+CB)/2,
三式相加,AD+BE+CF=(AB+AC)/2+(BA+BC)/2+(CA+CB)/2=AB/2-AB/2+AC/2-AC/2+BC/2-BC/2=0
∴AD+BE+CF=0,三个向量之和为0
∵BF,CD交O,
∴AE经过点O
BE=(BA+BC)/2,CF=(CA+CB)/2,
三式相加,AD+BE+CF=(AB+AC)/2+(BA+BC)/2+(CA+CB)/2=AB/2-AB/2+AC/2-AC/2+BC/2-BC/2=0
∴AD+BE+CF=0,三个向量之和为0
∵BF,CD交O,
∴AE经过点O
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我的思路是过AO作辅助线,与BC相交于E‘点,证明|BE’|=|CE‘|
具体怎么做,就不会了。定理忘完了
具体怎么做,就不会了。定理忘完了
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