Question

求数列:1,1+a, 1+a+a的平方, …(1++a+a2+…+an-1)…的前n项的和.

Answer 1

b(n)=1+a+a^2+...+a^(n-1).
t(n)=b(1)+b(2)+...+b(n).
若a=1,则b(n)=n, t(n)=1+2+...+n=n(n+1)/2.
若a不为1,则,b(n)=[a^n-1]/(a-1),
t(n)=[a+a^2...+a^n]/(a-1) - n/(a-1)
=a[a^n-1]/(a-1)^2 - n/(a-1)

Answer 2

这个式子乘a然后再减去这个式子，自己试试

Answer 3

an=1+a+a^2+…+a^(n-1)=(a^n-1)/(a-1)

Sn=[1/(a-1)]*(a-1+a^2-1+…+a^n-1)
=[1/(a-1)]*(a+a^2+…+a^n-n)
=a*(a^n-1)/(a-1)^2-n/(a-1)

追问

Sn怎么算出来的？

追答

将an=(a^n-1)/(a-1)视为等比数列与常数列之差，a^n/(a-1)套用等比数列求和公式
当然，a=1的时候直接是an=n，等差数列求和即可