Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点，

（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．（3）求二面角C1-AB-C的正切值．

Answer 1

1）因为 直三棱柱ABC—A1B1C1，
所以 CC1⊥面ABC
所以 BC为BC1在面ABC上的投影
因为 AC^2+BC^2=9+16=25=AB^2
所以 三角形ABC为直角三角形
所以 BC⊥AC
又因为 BC为BC1在面ABC上的投影
所以 BC1⊥AC
(2)
设CB1与C1B的交点为E，连接DE
∵D是AB的中点，E是BC1的中点
∴DE‖AC1
∵DE（平面CDB1，AC1￠平面CDB1
∴AC1‖平面CDB1

（3）解：过点C作CF⊥AB于F，连接C1F
由已知C1C垂直平面ABC，则∠C1FC为二面角C1-AB-C的平面角
在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，BC=4，则CF=12/5
又CC1=AA1=4
∴tan∠C1FC=5/3
∴二面角C1-AB-C的正切值为5/3

Answer 2

证明∵AC=3，BC=4，AB=5，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥C1C，
又BC∩C1C=C，∴AC⊥平面BCC1，
又BC1⊂平面BCC1，∴AC⊥BC1．
（2）证明：令BC1交CB1于点O，连接OD，
∵O、D分别是BC1和AB的中点，
∴OD ∥且=1/2 AC1，又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1
解：过C点作CE⊥AB于E，连接C1E，
∵CC1⊥AB，CE⊥AB，∴∠CEC1（或其补角）即是C1-AB-C的平面角，
在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，AB=5，由AB•CE=AC•BC得CE=12/5，
∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥CE，∴△CEC1是Rt△，
又∵CC1=AA1=4，CE=12/5，∴C1E=√CC1²+CE²=（4√34）/5
∴cos∠CEC1=CE/C1E=(3√34)/34
即二面角C1-AB-C的余弦值为(3√34)/34