Question

如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．

Answer 1

解：阅读材料：
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴∠GAB=∠EAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF，
=∠EAD+∠BAF，
=∠BAD-∠EAF，
=90°-45°，
=45°；

（1）如图3，过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F，
∵AD∥BC，∠D=90°，AD=CD，
∴四边形AFCD是正方形，
设BE=x，
根据小伟的结论，BF=BE-DE=x-4，
∵CD=10，DE=4，
∴CE=CD-DE=10-4=6，
BC=CF-BF=10-（x-4）=14-x，
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，
即（14-x）2+62=x2，
整理得，-28x=-232，
解得x=587，
即BE=587；

（2）如图4，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，
∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∵∠BAE=∠CBF∠AEB=∠BFC=90°AB=BC​，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，BE=CF，
∵点A（-3，2），C（x，y），
∴OE=3，AE=2，OF=x，CF=y，
∴OB=BE-OE=y-3，
OB=OF-BF=x-2，
∴y-3=x-2，
整理得，y=x+1．
故答案为：45°；587；x+1．点评：本题考查了旋转的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，（2）作辅助线补充完整正方形是解题的关键，（3）作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

Answer 2

证明：在CB的延长线上取点G，使BG＝DE，连接AG
∵正方形ABCD
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABD＝∠ABG＝∠ADC＝90
∵BG＝DE
∴△ABG≌△ADE （SAS）
∴AG＝AE，∠BAG＝∠DAE
∵∠EAF＝45
∴∠BAF+∠DAE＝90-∠EAF＝45
∴∠GAF＝∠BAF+∠BAG＝∠BAF+∠DAE＝45
∴∠GAF＝∠EAF
∵AF＝AF
∴△AGF≌△AEF （SAS）
∴EF＝GF
∵GF＝BG+BF
∴GF＝DE+BF
∴DE+BF＝EF