如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证DE+BF=EF.
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解:阅读材料:
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,
∴∠GAB=∠EAD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,
∵∠EAF=45°,困神亏
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF,
=∠EAD+∠BAF,
=∠BAD-∠EAF,
=90°-45°,
=45°;
(1)如图3,过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F,
∵AD∥BC,∠D=90°,AD=CD,
∴瞎昌四边形AFCD是正方形,
设BE=x,
根据小伟的结论,BF=BE-DE=x-4,
∵汪神CD=10,DE=4,
∴CE=CD-DE=10-4=6,
BC=CF-BF=10-(x-4)=14-x,
在Rt△BCE中,BC2+CE2=BE2,
即(14-x)2+62=x2,
整理得,-28x=-232,
解得x=587,
即BE=587;
(2)如图4,过点A作AE⊥x轴于E,过点C作CF⊥x轴于F,
在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,
∵∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°,
∠ABE+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
在△ABE和△BCF中,
∵∠BAE=∠CBF∠AEB=∠BFC=90°AB=BC,
∴△ABE≌△BCF(AAS),
∴AE=BF,BE=CF,
∵点A(-3,2),C(x,y),
∴OE=3,AE=2,OF=x,CF=y,
∴OB=BE-OE=y-3,
OB=OF-BF=x-2,
∴y-3=x-2,
整理得,y=x+1.
故答案为:45°;587;x+1.点评:本题考查了旋转的性质,坐标与图形的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质,(2)作辅助线补充完整正方形是解题的关键,(3)作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,
∴∠GAB=∠EAD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,
∵∠EAF=45°,困神亏
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF,
=∠EAD+∠BAF,
=∠BAD-∠EAF,
=90°-45°,
=45°;
(1)如图3,过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F,
∵AD∥BC,∠D=90°,AD=CD,
∴瞎昌四边形AFCD是正方形,
设BE=x,
根据小伟的结论,BF=BE-DE=x-4,
∵汪神CD=10,DE=4,
∴CE=CD-DE=10-4=6,
BC=CF-BF=10-(x-4)=14-x,
在Rt△BCE中,BC2+CE2=BE2,
即(14-x)2+62=x2,
整理得,-28x=-232,
解得x=587,
即BE=587;
(2)如图4,过点A作AE⊥x轴于E,过点C作CF⊥x轴于F,
在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,
∵∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°,
∠ABE+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
在△ABE和△BCF中,
∵∠BAE=∠CBF∠AEB=∠BFC=90°AB=BC,
∴△ABE≌△BCF(AAS),
∴AE=BF,BE=CF,
∵点A(-3,2),C(x,y),
∴OE=3,AE=2,OF=x,CF=y,
∴OB=BE-OE=y-3,
OB=OF-BF=x-2,
∴y-3=x-2,
整理得,y=x+1.
故答案为:45°;587;x+1.点评:本题考查了旋转的性质,坐标与图形的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质,(2)作辅助线补充完整正方形是解题的关键,(3)作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
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证明:在CB的延长线上取点G,使BG=枣备DE,连接AG
∵正方形ABCD
∴AB=AD,∠BAD=∠ABD=∠ABG=∠ADC=90
∵BG=DE
∴△ABG≌前岩州△ADE (SAS)
∴AG=AE,∠BAG=∠DAE
∵∠EAF=45
∴∠BAF+∠DAE=90-∠EAF=45
∴∠GAF=∠BAF+∠BAG=∠BAF+∠DAE=45
∴∠GAF=∠EAF
∵慧蔽AF=AF
∴△AGF≌△AEF (SAS)
∴EF=GF
∵GF=BG+BF
∴GF=DE+BF
∴DE+BF=EF
∵正方形ABCD
∴AB=AD,∠BAD=∠ABD=∠ABG=∠ADC=90
∵BG=DE
∴△ABG≌前岩州△ADE (SAS)
∴AG=AE,∠BAG=∠DAE
∵∠EAF=45
∴∠BAF+∠DAE=90-∠EAF=45
∴∠GAF=∠BAF+∠BAG=∠BAF+∠DAE=45
∴∠GAF=∠EAF
∵慧蔽AF=AF
∴△AGF≌△AEF (SAS)
∴EF=GF
∵GF=BG+BF
∴GF=DE+BF
∴DE+BF=EF
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