Question

设函数f(x)=根号(ax^2+bx+c) (a<0)的定义域为D,若所有点(s,f(t))(s,t∈D)构成一个正方形的区域,则a的值为

请问其中s指的是什么？

Answer 1

S就是指定义域内的值。假设定义域为[p, q], 则p=<s<=q
(s, f(t))就是指横轴为定义域区间，纵轴为值域区间的矩形区域，现在这个区域为正方形，根据横轴为[p,q]区间，则值域也为[p,q]区间
由于a<0, g(x)=ax^2+bx+c为开口向下的抛物线，f(x)=√g(x), 定义域为抛物线在上半平面的部分，抛物线的两个零点之间即为定义域，即p,q为g(x)的两个零点。而f(x)的最小值显然为0，即p=0,
故有c=0, 由韦达定理得另一根q=-b/a
最大值在抛物线顶点取得, g(-b/(2a))=-b^2/(4a), 故有：q=√[-b^2/(4a)]
故有：-b/a=√[-b^2/(4a)], 解得：a=-4

追问

谢谢你的回答。可是为什么这个函数上的点可以构成一个正方形呢？

追答

不是指这个函数上的点。而是指(x, y)中的x, y取遍同一个区域的值。

Answer 2

题目不是说了，s 、t 都函数定义域中的任意值。
你要把条件弄清楚：(s，f(t))构成一个正方形 ，就是说，定义域的宽度与值域的宽度相等。
不仅如此，由于 f(x) 最小值为 0 ，最大值为 √[(4ac-b^2)/(4a)] ，
所以，函数定义域的一个端点为 0 ，另一个端点为 -√[(4ac-b^2)/(4a)] 或 √[(4ac-b^2)/(4a)] 。
也就是说 c=0 ，且 -b/a= -√[-b^2/(4a)] 或 -b/a=√[-b^2/(4a)] ，
由此解得 a^2= -4a ，
即 a= -4 。