双曲线离心率问题
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的一个焦点F,过F作双曲线一条渐近线L的垂线交L于点M，交y轴于点N,若向量FM=2MN,则双曲线的离心率为（请注明解题过程，...
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的一个焦点F,过F作双曲线一条渐近线L的垂线交L于点M，交y轴于点N,若向量FM=2MN,则双曲线的离心率为
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F(c,0)
一条渐近线L1: y=bx/a
渐近线L的垂线交L2 y=-a/b(x-c)
设M(x1,y1) N(0,y2)
向量FM=(x1-c,y1) 向量MN=(-x1,y1-y2)
向量FM=2MN
x1-c=-2x1 x1=c/3
联立
y=-a/b(x-c)
y=bx/a
bx/a=-a/b(x-c) b^2x=-a^2(x-c)
(a^2+b^2)x=a^2c
x1=a^2/c x1=c/3
c^2=3a^2 c=√3a
e=c/a=√3
一条渐近线L1: y=bx/a
渐近线L的垂线交L2 y=-a/b(x-c)
设M(x1,y1) N(0,y2)
向量FM=(x1-c,y1) 向量MN=(-x1,y1-y2)
向量FM=2MN
x1-c=-2x1 x1=c/3
联立
y=-a/b(x-c)
y=bx/a
bx/a=-a/b(x-c) b^2x=-a^2(x-c)
(a^2+b^2)x=a^2c
x1=a^2/c x1=c/3
c^2=3a^2 c=√3a
e=c/a=√3
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若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 F1(-c,0),F2(c,0) F1F2=2c 所以三角形高是√3c M(0,√3c) 所以中点N(-c/2,√3c/2)
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在那个直角三角形中垂线分斜边比为1:2，可以得到这条垂线的斜率为2.即b/a=2，
那么e=c/a，把它们平方再有abc的平方关系可以得到结果 根号5
那么e=c/a，把它们平方再有abc的平方关系可以得到结果 根号5
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