Question

已知数列{an}中,a1>0,且an+1=√(3+an)/2.(2)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何

已知数列{an}中,a1>0,且an+1=√(3+an)/2.
(2)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立
（3）若a1=4，设bn=|an+1-an|(n∈1,2,3，···），并以Sn表示数列{bn}的前n项的和，是证明：Sn＜5／2

Answer 1

(2)由 a1>0,an+1=√(3+an)/2，an+1>an

得√(3+an)/2>an 解不等式得-3/4<an<1
设函数y= √(3+an)/2,则函数在（-3，+∞）单调递增
而函数在定义域（-3/4，1）时，值域是（3/4,1）,同时an+1=√(3+an)/2的值域也是an+1=√(3+an)/2的定义域，值域（3/4,1）⊂定义域（-3/4，1）
所以0<a1<1
（3）由(2)可知当-3/4<an<1，an+1>an对任何自然数n都成立，否则an+1=<an.

已知a1=4，则a2<a1,由（2）得函数y= √(3+an)/2在（-3，+∞）单调递增，所以a2>a3>a4>.......>an-1>an。
则数列bn=|an+1-an|(n∈1,2,3，···）可以表示为bn=an-an+1(n∈1,2,3，···）
Sn=b1+b2+b3+.........bn-1+bn=a1-a2+a2-a3+a3-a4+.......+an-1-an+an-an+1=a1-an+1

Sn=4-√(3+an)/2

追问

然后呢？这个不一定得出Sn小于5/2啊

追答

不知你给题目全不全，我又求不出{an}的通项公式。

Answer 2

（2）可将AN+1与An的关系画成图像，由于两者都大于0，所以在一象限，由图可知0<n<1
(3)