Question

三角形ABC中,∠ABC的平分线BE与BC边上的中线AD垂直,且BE=AD=4,求三角形ABC三边之长

解题思路即可

Answer 1

设BE⊥AD于P;连接DE;作DF平行BE且交AC于F;
由于BE平分∠ABC且BE⊥AD,由三线合一得△ABD是等腰三角形,AB=BD;
且P是AD中点,AP=PB=AD/2=2;
由于D是BC中点,则可知S△CDE=S△BDE=S△ABE=(1/2)·BE·AP=4;
S△ABC=3·S△ABE=12;
S△ACD=(1/2)S△ABC=6;
S△BCE=S△ABC-S△ABE=8;
由于DF是△BCE的中位线,则△CDF∽△BCE,相似比为1:2;
则S△CDF=(1/2)^2·S△BCE=2;
于是
S△ADF=S△ADC-S△CDF=4;
∵DF平行BE,且BE⊥AD
∴DF⊥AD.
则S△ADF=(1/2)·AD·DF
即(1/2)·AD·DF=4
→DF=2;
前已证明AP=PB=AD/2,又∵DF平行BE
∴PE是△ADF的中位线,则PE=DF/2=1;
则AE=√(AP^2 + PE^2) =√5;

∵△ABE与△ABC等高,且S△ABC=3·S△ABE
∴AC=3AE=3√5;

BP=BE-PE=3;
AB=√(AP^2 + BP^2) =√13;

BC=2BD=2AB=2√13;

Answer 2

由于BE平分∠ABC且BE⊥AD,由三线合一得△ABD是等腰三角形,AB=BD; 且P→DF=2; 前已证明AP=PB=AD/2,又∵DF平行BE ∴PE是△ADF的中位线,则

Answer 3

...