Question

高中数学里映射的概念究竟是什么意思？

Answer 1

映射概念：在数学里，映射则是个术语，指两个元素的集之间元素相互“对应”的关系，为名词；亦指“形成对应关系”这一个动作，动词。

“映射”或者“投影”，需要预先定义投影法则部分的函数后进行运算。因此“映射”计算可以实现跨维度对应。相应的微积分属于纯数字计算无法实现跨维度对应，运用微分模拟可以实现本维度内的复杂模拟。 映射可以对非相关的多个集合进行对应的近似运算，而微积分只能在一个连续相关的大集合内进行精确运算。

相同点:

(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;

(2)函数与映射的对应都具有方向性;

(3)A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性;即A中任意元素B中都有唯一元素与之对应.(多值函数除外,这类函数一般不纳入函数的范畴)

区别：

1、函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。

2、函数要求每个值域都有相应的定义域与其对应，也就是说，值域这个集合不能有剩余元素，而映射可以有剩余。

但是不可以把物理学看作是数学在现实世界的映射。

这里需要先理清楚物理学和数学分别是什么。物理学是研究自然界中事物运动变化规律的学科，而数学则是研究如何用最简练的方法表达逻辑推论的学科。这里最大的差别就是，物理学研究的是实在的事物，而数学研究的是抽象化的逻辑概念。所以就会产生下面一个逻辑关系：

一切实在的事物都可以抽象出对应的逻辑概念

特定的逻辑概念不一定能有实在的事物与其对应

根据上面的逻辑，就可以得出下面的一个推论：

一切物理学的结论都可以用数学的方式进行表达

数学表达不一定能有具体的物理学结论与其对应

根据上述结论，可以看出物理学与数学并不满足映射关系的定义。

另外从功能上来说，数学并不是科学，而是一门语言或一种工具。这样从语言的角度上来看，也同样有下面的关系：

一切实在的事物都能找到可对其进行描述的语言

特定的词汇不一定能有实在的事物与其对应

因此从这个角度看，数学与物理学，或者说数学与现实世界，并不满足映射关系的定义。