Question

正弦函数的值域是什么？

Answer 1

值域（-1,1）。

(1)定义域。

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，分别记作。

y=sinx，x∈R。

y=cosx，x∈R。

其中R当然可以换成(-∞，+∞)。

(2)值域。

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度。

所以|sinx|≤1，|cosx|≤1，即-1≤sinx≤1-1≤cosx≤1。

这说明正弦函数、余弦函数的值域都是[-1，1。其中正弦函数当且仅当。

时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1。

而余弦函数当且仅当。

x=2kπ，k∈Z。

时取得最大值1，当且仅当。

x=(2k+1)π，k∈Z。

时取得最小值-1。

(3)周期性

由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx，cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)可知，正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的．图4-20正是按此性质画出的。

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(x+T)=f(x)。

那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期。

例如，2π，4π，…及-2π，-4π，…都是正弦函数和余弦函数的周期。

事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期。

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。