Question

已知向量M=（cosx/4,1），N=（√3sinx/4，cos²x/4）。（1）若M·N=1，求cos（2π/3-x）。

（2）在三江县ABC中，若（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围。（3）设f（x）=M·N，求f（x）的单调增区间。 谢谢回答的人

Answer 1

(1).由M·N=1得√3cosx/4sinx/4+cos²x/4=2cosx/4(√3/2sinx/4+1/2cosx/4)
=2sin(x/4+π/6)cosx/4=1
∴sin(x/4+π/6+x/4)+sin(x/4+π/6-x/4)=1
∴sin(x/2+π/6)=1-1/2
∴x/2+π/6=2kπ+π/6
∴x=4kπ
cos(2π/3-x)=cos(2π/3-4kπ)=cos2π/3=-cosπ/3=-1/2
(2)f(A)是什么？

追问

f(A)=sin(A/2+π/6）+1/2

追答

∵（2a-c）cosB=bcosC
∴(2a-c)·(a²+c²-b²）/2ac=b·(a²+b²-c²)/2ab
∴2a³2ac²-2ab²-2a²c=0
∴2a(a²+c²-b²-ac)=0
∴a²+c²-b²-ac=0
∴(a²+c²-b²)/2ac=1/2
∴cosB=1/2
∴∠B=π/3
∴A+C=120º=2π/3
∴0＜A≤2π/3
∴0＜A/2≤π/3
∴π/6＜A/2+π/6≤π/2
∴1/2＜sin(A/2+π/6)≤1
∴1/2+1/2＜sin(A/2+π/6)+1/2≤1+1/2
∴1＜f(A)≤3/2
(3)f(x)=M·N=sin(x/2+π/6)+1/2
∵2kπ-π/2≤x/2+π/6≤2kπ+π/2
∴4kπ-4π/3≤x≤4kπ+2π/3
递增区间:[4kπ-4π/3,4kπ+2π/3]
∵2kπ+π/2≤x/2+π/6≤2kπ+3π/2
∴2kπ+π/3≤x/2≤2kπ+4π/3
∴4kπ+2π/3≤x≤4kπ+8π/3
∴递减区间：[4kπ+2π/3,4kπ+8π/3]