Question

如图1，图2，图3 在△ABC中，分别以AB，AC为变，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE,C相交于点O

根据图4证明你的猜想

Answer 1

（1）
①由题意可知AB=AD，AE=AC，
∠CAE=∠BAD=60°→∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD=∠CAD
所以△ABE≌△ADC（两边夹一角）
②在图1中，△ABE≌△ADC→∠ABE=∠ADC，∠AEB=∠ACD
正三角形内角=60°→∠BAC+∠ABE+∠AEB=180°-60°=120°→∠BAC+∠ABE+∠ACD=120°
∠OBC+∠OCB=180°-(∠BAC+∠ABE+∠AEB)=60°→∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=120°
同理可证：
在图2中正四边形内角=90°→∠DOE=90°→∠BOC=90°
在图3中正五边形内角=108°→∠DOE=72°→∠BOC=72°
（2）△ABE≌△ADC→∠ABE=∠ADC
在四边形ABED中
∠BAD+∠ABE+∠BED+∠ADE=360°→∠BAD+∠ADC+∠BED+∠ADE=360°
→∠BAD+∠BED+∠CDE=360°→∠BAD+(∠BOC+∠ODE)+(∠BOC+∠OED)=360°
→∠BAD+2∠BOC+(∠ODE+∠OED)=360°→∠BAD+2∠BOC+(180°-∠BOC)=360°
→∠BAD+∠BOC=180°→∠BOC=180°-∠BAD
正n边形内角=180°-360°/n=∠BAD→∠BOC=180°-(180°-360°/n)=360°/n

Answer 2

）①用SAS可得△ABE≌△ADC；②∠BOC=360÷n
（2）①猜想∠BOC=360÷n
②先用外角得出∠BOC=∠ADC+∠BOE+∠DAE=∠ADC+∠DCA+∠DAE
=180°－∠DAE－∠EAC+∠DAE=180°－∠EAC
=360÷n

Answer 3

能否把如图1，图2，图3 都发上来