Question

“若f(x)在x0处可微，则f(x)在x0的某临域内有界”这句话对吗？

Answer 1

正确。如果任意一个邻域都包含无界点，那么无界点集就会形成一个以x0为聚点的点列，于是x0也是无界点，那么就不可微，与已知矛盾。

f(x)在x0处可微，则f(x)在x0处连续，f(x)在x0的某个邻域（x0-δ，x0+δ）内连续，取这个邻域包含的一个闭区间[x0-δ/2,x0+δ/2]，则f(x)在这个闭区间连续[x0-δ/2,x0+δ/2]，而闭区间上的连续函数是有界的，所以f（x)在x0的某个邻域内（x0-δ，x0+δ）有界。

扩展资料：

有界函数的性质

函数的有界性与其他函数性质之间的关系，函数的性质：有界性，单调性，周期性，连续性，可积性。

1、有界函数的单调性

闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。

2、有界函数的连续性

闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。

3、有界函数的可积性

闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。

Answer 2

正确,如果任意一个邻域都包含无界点,那么无界点集就会形成一个以x0为聚点的点列,于是x0也是无界点,那么就不可微,与已知矛盾.

f(x)在x0处可微，则f(x)在x0处连续，
f(x)在x0的某个邻域（x0-δ，x0+δ）内连续，
取这个邻域包含的一个闭区间[x0-δ/2,x0+δ/2]，
则f(x)在这个闭区间连续[x0-δ/2,x0+δ/2]，而闭区间上的连续函数是有界的，
所以f（x)在x0的某个邻域内（x0-δ，x0+δ）有界。